2024-2025学年四川省眉山市东坡区高三上册第一次诊断数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年四川省眉山市东坡区高三上学期第一次诊断数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题0分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一物体的运动方程是S=t+1t，则该物体在A．52 B．34 C．12．函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则在f（x）的图象上A，B的对应点附近，有（）A．A处下降，B处上升 B．A处上升，B处下降 C．A处下降，B处下降 D．A处上升，B处上升3．已知函数f（x）＝xcosx+（a﹣1）x2是奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．2x﹣y＝0 B．x﹣y＝0 C．2x+y＝0 D．x﹣2y＝04．已知三次函数y＝f（x）的图象如图所示，若f′（x）是函数f（x）的导函数，则关于x的不等式xf′（x）＞f（7）的解集为（）A．{x|x＜0或1＜x＜4} B．{x|x＜7} C．{x|1＜x＜4} D．{x|x＞4或0＜x＜1}5．若函数f（x），g（x）满足f（x）+xg（x）＝x2﹣1，且f（1）＝1，则f'（1）+g'（1）＝（）A．3 B．2 C．1 D．46．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．12 C．52 7．函数f（x）＝xlnx，a＝f（2），b=f(14)，c=f(13)，则A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，其导函数是f'（x），且当x＞0时总有xf'（x）＞f（x），则下列各项表述正确的是（）A．2f（1）≥f（2） B．2f（1）＞f（2） C．2f（1）≤f（2） D．2f（1）＜f（2）二、选择题：本题共4小题，每小题0分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．函数f(x)=1A．（e，+∞） B．(1e，+∞) C．（0，1e）（多选）10．设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（）A． B． C． D．（多选）11．若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围可能为（）A．（﹣1，12） B．（﹣∞，﹣1） C．（−12，1） （多选）12．函数f(x)=ex−lnx+kA．x0ex0C．k＝2 D．k＞2三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分．13．函数f(x)=2x+1x214．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）＝xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是．15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是．16．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）•（x﹣a2..........（x﹣a8），则f'（0）等于．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)=2x+1（1）求函数f（x）在区间[3，4]上的平均变化率；（2）求函数f（x）的图象在点(118．设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx+bx2+x的两个极值点（1）求常数a和b的值；（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．19．已知函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．（1）当a=−14时，求函数f（（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；20．设f(x)=ax+xlnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3，如果对于任意的s，t∈[12，2]，都有f（s）≥21．已知函数f（x）＝ex+ax．（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）＞x2+1恒成立，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝alnx+2x2﹣4x（a∈R）．（1）若x＝2是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）＝f（x）﹣ax在区间[1，e]上的最小值h（a）．

2024-2025学年四川省眉山市东坡区高三（上）第一次诊断数学试卷答案与试题解析题号12345678答案BABAADBD一、选择题：本题共8小题，每小题0分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一物体的运动方程是S=t+1t，则该物体在A．52 B．34 C．1【分析】根据瞬时变化率的定义进行计算．解：Δs=2+Δt+1所以t＝2时的瞬时速度为limΔt→0故选：B．【点评】本题考查了瞬时变化率的定义，属于基础题．2．函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则在f（x）的图象上A，B的对应点附近，有（）A．A处下降，B处上升 B．A处上升，B处下降 C．A处下降，B处下降 D．A处上升，B处上升【分析】根据导函数的概念，即可解出．解：由导函数的概念可知，导函数值小于零对应的自变量的取值集合即为原函数的单调递减区间，导函数值大于零对应的自变量的取值集合为原函数的单调递增区间，有图象可知点A处导函数值为负值，点B处的导函数值为正值，故点A处下降，点B处上升，故选：A．【点评】本题考查了导函数的概念，学生的知识应用能力，属于基础题．3．已知函数f（x）＝xcosx+（a﹣1）x2是奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．2x﹣y＝0 B．x﹣y＝0 C．2x+y＝0 D．x﹣2y＝0【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），结合诱导公式可得a＝1，求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．解：函数f（x）＝xcosx+（a﹣1）x2，若f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），则﹣xcosx+（a﹣1）x2＝﹣xcosx﹣（a﹣1）x2，即为（a﹣1）x2＝0恒成立，可得a＝1，即f（x）＝xcosx，f（0）＝0函数的导数为f′（x）＝cosx﹣xsinx，可得f（x）在x＝0处的斜率为k＝f′（0）＝1，则f（x）在x＝0处的切线方程为y＝x．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．已知三次函数y＝f（x）的图象如图所示，若f′（x）是函数f（x）的导函数，则关于x的不等式xf′（x）＞f（7）的解集为（）A．{x|x＜0或1＜x＜4} B．{x|x＜7} C．{x|1＜x＜4} D．{x|x＞4或0＜x＜1}【分析】由图象做出其导函数f'（x）的图象，用符号法则即可求解不等式；由图象可知，f（7）＝0，即原不等式转化为x•f'（x）＞0，又由于三次函数y＝f（x）的导函数是二次函数，结合f（x）的图象可知，x＝1和x＝4分别是函数f（x）的极小值点和极大值点，则x＝1和x＝4是函数f'（x）的两个变号零点，我们可以做出导函数f'（x）的图象如图，由图象可知，当x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜4时，f'（x）＞0，当x＞4时，f'（x）＜0，接下来利用符号法则即可求解，当x＜0时，满足x＜1，即f'（x）＜0，而x＜0，故x•f'（x）＞0，故x＜0满足题意；当0＜x＜1时，f'（x）＜0，但x＞0，故x•f'（x）＜0，不满足题意；当1＜x＜4时，f'（x）＞0，而x＞0，故x•f'（x）＞0，故1＜x＜4满足题意；当x＞4时，f'（x）＜0，但x＞0，故x•f'（x）＜0，不满足题意；综上所述，不等式x•f'（x）＞0的解为x＜0或者1＜x＜4，故不等式xf′（x）＞f（7）的解集为{x|x＜0或1＜x＜4}，故选：A．【点评】三次多项式函数的导函数是二次函数，故可以借助二次函数来研究三次多项式函数，那么利用三次多项式函数的图象，也应该能做出其导函数的图象；其二这类不等式求解集的题目多用到符号法则，不要忘了这一点．5．若函数f（x），g（x）满足f（x）+xg（x）＝x2﹣1，且f（1）＝1，则f'（1）+g'（1）＝（）A．3 B．2 C．1 D．4【分析】根据f（1）＝1即可求出g（1）＝﹣1，然后对函数f（x）+xg（x）＝x2﹣1求导即可得出f′（x）+g（x）+xg′（x）＝2x，然后即可求出f′（1）+g′（1）的值．解：∵f（1）＝1，∴f（1）+g（1）＝0，g（1）＝﹣1，∵f（x）+xg（x）＝x2﹣1，∴f′（x）+g（x）+xg′（x）＝2x，∴f′（1）+g（1）+g′（1）＝2，∴f′（1）+g′（1）＝2﹣（﹣1）＝3．故选：A．【点评】本题考查了已知函数求值的方法，基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．6．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．12 C．52 【分析】将两个函数作差，得到函数y＝f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得y′=2x−1当0＜x＜22时，y′＜0，函数在当x＞22时，y′＞0，函数在所以当x=22所求t的值为2故选：D．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．7．函数f（x）＝xlnx，a＝f（2），b=f(14)，c=f(13)，则A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】求出f′（x）＝lnx+1，x＞0，f（x）在（0，1e）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增，由0＜14＜13＜1e，得b＞c．再由f（14）=14ln1解：f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1，x＞0，由f′（x）＝lnx+1＞0，得x＞1由f′（x）＝lnx+1＜0，得0＜x＜1∴f（x）在（0，1e）上单调递减，在（1∵0＜14＜13＜1e，∴f（14∵f（14）=14ln14＜0，a∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查导数的性质、函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，其导函数是f'（x），且当x＞0时总有xf'（x）＞f（x），则下列各项表述正确的是（）A．2f（1）≥f（2） B．2f（1）＞f（2） C．2f（1）≤f（2） D．2f（1）＜f（2）【分析】由已知当x＞0时，总有f（x）＜xf′（x）成立，可判断函数g（x）=f(x)x为增函数，得到g（1）＜解：设g（x）=f(x)x，则g′（x）∵f（x）＜xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）为增函数，∴g（1）＜g（2），即2f（1）＜f（2），故选：D．【点评】本题关键是证明g（x）为增函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．二、选择题：本题共4小题，每小题0分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．函数f(x)=1A．（e，+∞） B．(1e，+∞) C．（0，1e）【分析】利用导数求得f（x）的一个单调递减区间．解：因为f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），所以导函数f′(x)=0−(lnx+x×因此函数f（x）在区间(1e，1)，(1，+∞)上，导函数f′（x）＜0，函数f所以AD选项符合题意．故选：AD．【点评】本题考查导数的综合应用，属于简单题．（多选）10．设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据原函数与导函数的图象关系，逐一分析选项，即可得出答案．解：对于A：若图中的直线为f'（x）的图象，曲线为f（x）的图象，∵f'（x）的图象先负后正，f（x）的图象先减后增，故A可能正确；对于B：若图中上面的曲线为f（x）的图象，下面曲线为f'（x）的图象，∵f'（x）的图象在x＝0处先负后正，f（x）的图象在x＝0处先减后增，故B可能正确；对于C：若图中上面的曲线为f'（x）的图象，下面曲线为f（x）的图象，∵f'（x）＞0恒成立，f（x）的图象为增函数，故C可能正确；对于D：若图中上面的曲线为f'（x）的图象，下面曲线为f（x）的图象，∵f'（x）的图象先负后正，f（x）的图象为增函数，不符合，若图中上面的曲线为f（x）的图象，下面曲线为f'（x）的图象，∵f'（x）＜0恒成立，f（x）的图象为增函数，不符合，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力，属于基础题．（多选）11．若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围可能为（）A．（﹣1，12） B．（﹣∞，﹣1） C．（−12，1） 【分析】判断函数f（x）奇偶性与单调性，由函数的性质将不等式f（2x2﹣1）+f（x）＞0合理转化，即可求出x的取值范围．解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣2x）＝﹣（ex﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）＝ex+e﹣x+2cos2x≥2+2cos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上增函数．∵f（2x2﹣1）+f（x）＞0，∴f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞∴x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（12故选：BD．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．（多选）12．函数f(x)=ex−lnx+kA．x0ex0C．k＝2 D．k＞2【分析】由f（x）＝0，可得出k＝xex﹣ln（xex），令u（x）＝xex（x＞0），利用导数得出函数u（x）在（0，+∞）上为增函数，再令g（t）＝t﹣lnt（t＞0），利用导数分析函数g（t）在（0，+∞）上的单调性，可求得k＝1，即可判断A、C、D选项的正误，再结合函数u（x）的单调性可判断B选项的正误．解：函数f(x)=ex−lnx+k由xex﹣（lnx+k）﹣x＝0，可得k＝xex﹣lnx﹣x＝xex﹣ln（xex），由题意得，直线y＝k与函数y＝xex﹣ln（xex）（x＞0）图象有唯一交点．令u（x）＝xex（x＞0），则u′（x）＝ex（x+1）＞0，u（x）在（0，+∞）上为增函数，则u（x）＞u（0）＝0．令g（t）＝t﹣lnt（t＞0），则g′(t)=1−1当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，g（t）为减函数，当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）为增函数，∴g（t）min＝g（1）＝1．记u（m）＝mem＝1，则y＝xex﹣ln（xex）（x＞0）在（0，m）上为减函数，在（m，+∞）上为增函数，且ymin＝1．当x→0时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞，y＝xex﹣ln（xex）（x＞0）的图象如下：∵直线y＝k与函数y＝xex﹣ln（xex）（x＞0）图象有唯一交点，∴k＝1，选项C、D错误．由分析得，x0＝m，即u(x0)=∵u(12)=12∴u(1由u（x）在（0，+∞）上为增函数得12＜x故选：AB．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分．13．函数f(x)=2x+1x2+2的极小值为【分析】对函数求导判断出其单调性，再根据极值的定义即可求得极小值为f(−2)=−1解：由题意可知，函数f（x）的定义域为x∈R，则f′(x)=2(令f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣2；所以当x∈（﹣∞，﹣2）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上单调递减，当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣2，1）上单调递增，所以f（x）在x＝﹣2处取得极小值，即函数f（x）的极小值为f(−2)=−1故−1【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．14．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）＝xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是(−π，−π2)，【分析】根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．解：由题意得，f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，根据余弦函数的性质得，当x∈(−π，−π2)或(0，π2所以f（x）的单调递增区间为(−π，−π2)故(−π，−π2)【点评】本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】对a进行讨论，判断f（x）的单调性求出f（x）的减区间，令（0，2）为减区间的子集即可得出a的范围．解：f′（x）＝3x2﹣2ax，令f′（x）＝0得x＝0或x=2a若2a3≤0，即a≤0，则当x＞0时，f′（x）＞0，f（若2a3＞0，即a＞0，则当0＜x＜2a3时，f′（x）＜0，当x＞2a∴f（x）在（0，2a3）上单调递减，在（2a∵f（x）在（0，2）内单调递减，∴2≤2a3，解得故[3，+∞）．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．16．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）•（x﹣a2）.....（x﹣a8），则f'（0）等于4096．【分析】通过f'（0）推出表达式，再利用等比数列的性质求出表达式的值即可．解：∵函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），∴f′（x）＝（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，∵等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，∴f'（0）＝a1•a2…a8＝（a1a8）4＝84＝4096．故4096．【点评】本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)=2x+1（1）求函数f（x）在区间[3，4]上的平均变化率；（2）求函数f（x）的图象在点(1【分析】（1）利用平均变化率的公式计算可得结果．（2）求导，计算f′(1解：（1）函数f（x）在区间[3，4]上的平均变化率为f(4)−f(3)4−3（2）∵f(x)=2x+1x，∴∴切线的斜率k=f′(1∵f(1∴切线方程为y−3=−2(x−12)，即2x【点评】本题考查函数的平均变化率和导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx+bx2+x的两个极值点（1）求常数a和b的值；（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．【分析】（1）求导得f′（x），由x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx+bx2+x的两个极值点，得﹣a+2b+1＝0且a2+4bx+1＝0，解得a，（2）由（1）可知f（x）=−23lnx+16x解：（1）f′（x）=ax+因为x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx+bx2+x的两个极值点，所以f′（1）＝0且f′（2）＝0，所以﹣a+2b+1＝0且a2+4解得a=−23，b（2）由（1）可知f（x）=−23lnx+16xf′（x）=−23x令f′（x）＝0，得x＝1或2，所以在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以在x＝1处，函数取得极小值；在x＝2处，函数取得极大值．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要力气思路，属于中档题．19．已知函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．（1）当a=−14时，求函数f（（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；【分析】（1）将a=−14代入函数，求函数f（（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，利用但函数小于等于0，转换成不等式a≤−12x(x+1)，对∀x∈[1，+∞）恒成立，求新函数g（x）=−1解：（1）当a=−14时，∴f′(x)=−1f'（x）＞0可得﹣1＜x＜1；f'（x）＜0可得x＞1．∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）．（2）因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，∴f′(x)=2ax+1x+1≤0对∀即a≤−12x(x+1)，对∀x即∀x∈[1，+∞）时，a小于等于新函数g（x）=−1当x＝1时，g（1）min=−1∴a≤−1【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．20．设f(x)=ax+xlnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3，如果对于任意的s，t∈[12，2]，都有f（s）≥【分析】先求出g(x)，x∈[12，2]的最大值，问题转化为f(x)≥1，x∈[12，2]恒成立，再分离参数得a≥x﹣x2lnx，x∈[12，2]恒成立．设h（x）＝x﹣x解：由于对任意的s，t∈[12，2]，有f（s）≥g所以f（x）min≥g（x）max，导函数g′（x）＝3x2﹣2x＝x（3x﹣2），当x∈(23，2]时，g′（x）＞0，此时g当x∈[12，23)时，g′（又因为g(12)=−所以当x∈[12，2]时，g（x）max所以当x∈[12，2]即a≥x﹣x2lnx恒成立．令函数h（x）＝x﹣x2lnx，x∈[1因此导函数h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x，令函数φ（x）＝1﹣2xlnx﹣x，x∈[1因此导函数φ′（x）＝﹣3﹣2lnx＜0，导函数h′（x）在[1又因为h′（1）＝0，所以当x∈[12，1]时，h′（x）≥0，当x∈[1，2]时，h所以h（x）在[1所以h（x）max＝h（1）＝1，故a≥1．所以实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，属于中档题．21．已知函数f（x）＝ex+ax．（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的