2024-2025学年陕西省咸阳市兴平市高三上册第二次模拟数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年陕西省咸阳市兴平市高三上学期第二次模拟数学检测试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|log2（x+2）＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A∩B＝（）A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）已知向量a→=（0，1），b→=（x，1）且(bA．π6 B．π4 C．π33．（5分）“sinα=34”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=A．5 B．4 C．3 D．25．（5分）函数f(x)=xA． B． C． D．6．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ax+1，则f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．20257．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+2＞0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（）A．(22，+∞) B．(−∞，22) 8．（5分）已知a=ln22，b=ln36，c=A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且OC→=xOA→B．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，且a→与C．已知点G为△ABC三条边的中线的交点，则GA→D．已知AB→=(23，2)，AC→（多选）10．（6分）已知函数f(x)=xA．f（x）为奇函数 B．f（x）在区间(−∞，−32C．f（x）在区间（1，+∞）内单调递减 D．f（x）有极大值（多选）11．（6分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其中相邻的两个极值点的距离为π3，且fA．ω＝3 B．φ=−πC．x∈[0，π3]时，f（D．x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）＝sinx的交点数为4个三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）设等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝．13．（5分）已知f（x）＝2﹣x﹣2x﹣x，则f（x2﹣3）+f（2x）＜0的解集为．14．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，|AF|＝2|四、解答题（本题共5小题，共77分.第15题13分，第16，17题各15分其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）如图，已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosC（1）求A的值；（2）若c＝2b＝4，M为边BC上一点，且2BM＝3MC，求AM的长．16．（15分）已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2＝3，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）定义在数列{an}中，使log3（an+1）为整数的an叫做“调和数”，求在区间[1，2024]内所有“调和数”之和．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC与BD交于点O，点P在平面ABCD内的投影为点O，若△BCD为正三角形，且AB=AD=12AC，PO（1）证明：AC⊥平面PBD；（2）求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．18．（17分）设f（x）＝x﹣1﹣lnx．（1）求f（x）在(1（2）求证：当x＞0时，f（x）≥0；（3）设t为整数，且对于任意正整数n都有(1+12)(1+19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量OM→=(a，b)为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量（1）记向量ON→=(3，3)的相伴函数为f（x），若当f（x）＝3且（2）设g(x)=3cos(x+π3)+cos(π6−x)(x∈R)，试求函数（3）已知OA→=(0，1)为函数h（x）的相伴特征向量，若在△ABC中，AB＝2，cosC=ℎ(π6)，若点G

答案与试题解析题号12345678答案BBBBBCDD一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|log2（x+2）＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A∩B＝（）A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】根据对数函数单调性求得A＝{x|﹣2＜x＜2}，进而可得交集．解：因为log2（x+2）＜2，可得0＜x+2＜4，解得﹣2＜x＜2，即集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．【点评】本题考查了对数函数的单调性，交集的运算，是基础题．2．（5分）已知向量a→=（0，1），b→=（x，1）且(bA．π6 B．π4 C．π3【分析】根据题意得(b→−2解：b→−2a所以(b→−2a→)⋅b→所以cos〈a又〈a→，故选：B．【点评】本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，是基础题．3．（5分）“sinα=34”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由已知结合同角基本关系及二倍角公式检验充分及必要性即可判断．解：由sinα2−cos则2sinα即sinα=3由sinα=34，可得即sin则(sinα得sinα2−cos故sinα=34”是“故选：B．【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．4．（5分）已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解．解：∵A，B，C三点共线，∴AB→与AC∴存在实数k，使AB→=kAC又向量a→，b由λ＞0，μ＞0，∴λ+4μ≥24λμ当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．故选：B．【点评】本题考查向量共线，属于基础题．5．（5分）函数f(x)=xA． B． C． D．【分析】先求出函数的定义域，再利用函数值，即可判断．解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1，∵函数f(x)=x当x＝2时，f（x）＜0，当x＝﹣2时，f（x）＞0，当x=12时，f（当x=−12时，f（故选：B．【点评】本题考查了函数的图象的识别，掌握函数的定义域，函数的值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ax+1，则f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025【分析】由函数奇偶性，确定f（x）为周期函数，再结合f（﹣1）＝0，求得a，即可求解．解：因为f（2x﹣1）为奇函数，所以f（x）关于点（﹣1，0）中心对称，又f（x+1）为偶函数，所以f（x）关于直线x＝1对称，所以f（x）为周期函数且周期T＝4×|1﹣（﹣1）|＝8，∴f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+1，∵f（﹣1）＝﹣a+1＝0，∴a＝1，∴f（2025）＝a+1＝2．故选：C．【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．7．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+2＞0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（）A．(22，+∞) B．(−∞，22) 【分析】x∈[1，5]时不等式x2﹣ax+2＞0化为a＜x+2x；求出f（x）＝x+2解：x∈[1，5]时，不等式x2﹣ax+2＞0可化为x2+2＞ax，即a＜x+2设f（x）＝x+2x，x则f（x）的最大值为f（5）＝5+2∴关于x的不等式x2﹣ax+2＞0在区间[1，5]上有解时，a的取值范围是a＜27故选：D．【点评】本题考查了一元二次不等式在某一闭区间内有解的应用问题，是基础题．8．（5分）已知a=ln22，b=ln36，c=A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】令f（x）=lnx2x，利用导数判断函数的单调性，从而可比较a，b，解：令f（x）=lnx2x，f′（x）令f′（x）＞0，可得0＜x＜e，令f′（x）＜0，可得x＞e，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因为a=ln22=ln24=ln48=f（4），由e＜3＜4，所以f（e）＞f（3）＞f（4），即c＞b＞a．故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且OC→=xOA→B．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，且a→与C．已知点G为△ABC三条边的中线的交点，则GA→D．已知AB→=(23，2)，AC→【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影的定义逐一判断即可．解：对于选项A，因为点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且OC→所以有x+0.4＝1⇒x＝0.6，故A正确；对于选项B，a→+λb→=(1+λ，2+λ)，当a此时a→与a→+λb→对于选项C，设BC边上的中线为AD，于是GA→因为点G为△ABC三条边的中线的交点，所以点G是三角形的重心，因此有GA＝2GD，于是有GA→+GB对于选项D，因为AB→所以AB→在AC→上的投影的坐标为：AB→⋅AC→|故选：ACD．【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=xA．f（x）为奇函数 B．f（x）在区间(−∞，−32C．f（x）在区间（1，+∞）内单调递减 D．f（x）有极大值【分析】根据奇函数定义及其导函数的性质进行判断即可．解：由函数f(x)=xx3+2的定义域为(−∞，−32)∪(−又f′(x)=(x3+2)−x⋅3x2(当x∈(−∞，−32)∪(−32因此f（x）在区间(−∞．−32)当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，因此f（x）在区间f（x）在区间（1，+∞）内单调递减；故f（x）在x＝1处，取得极大值，因此BCD正确．故选：BCD．【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，以及函数的极值，属于中档题．（多选）11．（6分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其中相邻的两个极值点的距离为π3，且fA．ω＝3 B．φ=−πC．x∈[0，π3]时，f（D．x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）＝sinx的交点数为4个【分析】对于A，根据极值点的距离可得π3=T对于B，利用函数过点（0，﹣1），代入解析式得sinφ=−12，求出对于C，由选项A和B，可得函数解析式，再根据自变量范围可得f（x）∈[﹣1，2]，即可；对于D，作出函数y＝sinx和f(x)=2sin(3x−π解：对于A，由已知相邻两个极值点的距离为π3可得π3所以T=2π又ω＞0，所以2π3解得ω＝3，故A正确；对于B，由函数f（x）经过点（0，﹣1），得2sinφ＝﹣1，即sinφ=−1又|φ|＜π2，可得φ=−π对于C，由选项A和B知，f(x)=2sin(3x−π当x∈[0，π3]则sin(3x−π所以f(x)=2sin(3x−π6)∈[−1，2]对于D，因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，函数f(x)=2sin(3x−π6)所以在x∈[0，2π]上，函数f(x)=2sin(3x−π在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）设等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝10．【分析】由题意可得a4a7＝a5a6，解之可得a5a6，由对数的运算可得log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5，代入计算可得．解：由题意可得a5a6+a4a7＝2a5a6＝18，解得a5a6＝9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5＝log395＝log3310＝10故10【点评】本题考查等比数列的性质和通项公式，涉及对数的运算，属中档题．13．（5分）已知f（x）＝2﹣x﹣2x﹣x，则f（x2﹣3）+f（2x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得．解：函数f（x）＝2﹣x﹣2x﹣x的定义域为R，f（﹣x）＝2x﹣2﹣x+x＝﹣f（x），则f（x）是R上的奇函数，函数y＝2﹣x，y＝﹣2x，y＝﹣x在R上都单调递减，则函数f（x）在R上单调递减，不等式f（x2﹣3）+f（2x）＜0⇔f（x2﹣3）＜﹣f（2x）＝f（﹣2x），因此x2﹣3＞﹣2x，即x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．14．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，|AF|＝2|BF|，∠【分析】连接AF2，BF2，根据椭圆的对称性可得四边形FAF2B为平行四边形，再利用椭圆定义得到|AF2|=23a，|AF|=解：设F2是椭圆C的右焦点，连接AF2，BF2，由椭圆的对称得：|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，即四边形FAF2B对角线互相平分，则四边形FAF2B为平行四边形，则|AF2|＝|BF|，即|AF|＝2|AF2|，且∠FAF根据椭圆的定义，|AF|+|AF2|＝3|AF2|＝2a，则|AF2|=在△FAF2中，由余弦定理可得|FF即4c2=所以椭圆C的离心率为e=c故33【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题．四、解答题（本题共5小题，共77分.第15题13分，第16，17题各15分其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）如图，已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosC（1）求A的值；（2）若c＝2b＝4，M为边BC上一点，且2BM＝3MC，求AM的长．【分析】（1）由正弦定理可得cosAcosC=sinA2sinB−sinC，从而可得2cosAsinB＝sin（2）利用余弦定理及向量的数量积求出AB→⋅AC解：（1）由题意及正弦定理可得：cosAcosC故2cosA•sinB＝sinA•cosC+cosA•sinC＝sin（A+C）＝sinB，又sinB≠0，故cosA=12，而A∈（0，则A=π（2）在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝b2+c2﹣bc，故AB→AM→所以|AM→|2=125（4AB→2+9AC→2+12AB→•AC→）=125（4AB→2=125（4c2+9b2+12bc•因为c＝2b＝4，即b＝2，所以|AM→|=故AM=2【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，及用向量的方法求线段的长度．16．（15分）已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2＝3，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）定义在数列{an}中，使log3（an+1）为整数的an叫做“调和数”，求在区间[1，2024]内所有“调和数”之和．【分析】（1）结合等比中项的知识求得等差数列{an}的公差，从而求得通项公式．（2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前n项和公式求得Tn．解：（1）因为a1，a3，a7成等比数列，所以a3因为{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为d，所以a2所以a1所以an＝a1+（n﹣1）d＝n+1．（2）设b＝log3（an+1），所以an令1≤b≤2022，且b为整数，又由log33=1，lo所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时an分别为31﹣1，32﹣1，33﹣1，34﹣1，35﹣1，36﹣1，所以区间[1，2024]内所有“调和数”之和Tn＝（31+32+33+34+35+36）﹣6=3(1−＝1086．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC与BD交于点O，点P在平面ABCD内的投影为点O，若△BCD为正三角形，且AB=AD=12AC，PO（1）证明：AC⊥平面PBD；（2）求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．【分析】（1）易证△ABC≌△ADC，可得∠ACB＝∠ACD，进而知AC⊥BD，再由PO⊥平面ABCD，可得PO⊥AC，然后结合线面垂直的判断定理，即可得证；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角，即可得解．（1）证明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝∠ACD=12∠BCD∴CO⊥BD，即AC⊥BD，∵点P在平面ABCD内的投影为点O，∴PO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵BD∩PO＝O，BD、PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD．（2）解：由（1）可得OB，OC，OP两两垂直，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CD＝3，则B(32，0，0)，D(−32∴PB→=(32，0，−设平面PAD的法向量为m→=（x，y，z），则取z＝1，则x=−3，y＝﹣3，∴m→=设直线PB与平面PAD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜PB→，m→故直线PB与平面PAD所成角的正弦值为3913【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判断定理与性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（17分）设f（x）＝x﹣1﹣lnx．（1）求f（x）在(1（2）求证：当x＞0时，f（x）≥0；（3）设t为整数，且对于任意正整数n都有(1+12)(1+【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；（2）求导，根据导数判断函数单调性及最值即可得证；（3）由（2）可知当x＞1时：lnx＜x﹣1，可得ln(1+12n解：（1）f（x）＝x﹣1﹣lnx，则f′(x)=1−1则k=f′(1e)=1−e所以切线方程为y−1即（1﹣e）x﹣y+1＝0；（2）证明：f′(x)=1−1x=当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当0＜x＜1时，f′（