2024-2025学年四川省成都市高三上册一月考试数学（理）检测试题（附解析）

2024-2025学年四川省成都市高三上学期一月考试数学（理）检测试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若实数λ满足，则（

）A． B． C． D．14．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．5．如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分，“较强”记为5分，“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断不正确的是（

）A．甲、乙的五项能力指标的平均值相同B．甲、乙的五项能力指标的方差相同C．如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养D．如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养6．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知数列满足，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或9．已知，则（

）A． B． C． D．10．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（

）天.（参考数据：)A．70 B．80 C．90 D．10011．已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C．是偶函数 D．没有极值点12．已知点A，B，C，D均在半径为6的球面上，是边长为9的等边三角形，则三棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题13．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为.14．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）15．已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为．16．已知双曲线的左右焦点分别为、，若双曲线上的点，使得，且，则双曲线的离心率为．三、解答题17．内角A，B，C的对边分别为，，，已知，，的面积为．(1)求的值；(2)若点是边上一点，且，求的长．18．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.19．图1是直角梯形，，，，，，在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．(1)求证：平面平面(2)在棱上存在点，使得锐二面角的大小为，求到平面的距离．20．已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点．(1)求椭圆的方程及弦的长；(2)椭圆上有一动点，求的最大值．21．已知函数．(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个极值点，，证明：．22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求．1．C【分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，解得，所以，所以.故选：C2．C【分析】根据复数的除法运算及共轭复数概念求解.【详解】因为，所以，故选：C3．A【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.【详解】因为，且，所以，所以，故选：A.4．C【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，则，则，，于是，.故选：C.5．D【分析】由运动素养测评图可以求得平均值以及方差，通过识图可判断甲乙运动素养的高低.【详解】由图可知：甲的平均值为，乙的平均值为，A正确；甲的方差为，乙的方差为，B正确；从长跑、马术、游泳考虑，甲三方面的分值和为，乙三方面的分值和为，乙小于甲，C正确；从足球、长跑、篮球考虑，甲三方面的分值和为，乙三方面的分值和为，乙与甲相同，D错误.故选：D6．A【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，依题意，，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：A7．C【分析】先证明出充分性成立，再证明出必要性成立，得到答案.【详解】由题意得，若，则，即，，即，由与得，由与得，依此类推，可得，故是等差数列，充分性成立，若是等差数列，不妨设，则，故，即因为，所以，所以，必要性成立，故“”是“是等差数列”的充要条件.故选：C8．B【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案.【详解】⊙M：的圆心，半径，由，得，由题意可得圆心到直线的距离，即，解得.故选：B.9．A【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.【详解】由题可得，，所以.故选：A.10．B【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即，两边同时取对数，化简得，所以，即.故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.故选：B.11．D【分析】令，结合题设为上任意值且，得到为常函数，进而判断各项的正误.【详解】令，则，所以，且为定义域内任意值，故为常函数.令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；所以不恒成立，不一定成立，A、B错.故选：D12．D【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可．【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，是球心，则，，因为平面，平面，则，所以，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，此时棱锥的高为，，所以棱锥体积为．故选：D．13．【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由圆锥的侧面积公式故2π14．【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.【详解】由题意，可分为三种情况：当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，所以不同的分配方法有种不同的安排方法.故答案为.15．【分析】先根据求出的范围，再利用函数与方程的关系，将函数零点问题转化成相关的两函数图象的交点问题，借助于三角函数的图象观察即可确定参数范围.【详解】因，则，结合余弦函数的图象可知，要使函数在上恰有2个零点，须使函数与直线在上恰有两个交点，即使，解得.故答案为.16．【分析】作出图形，分析可知，点在双曲线的右支上，设交轴于点，连接，则，推导出，利用双曲线的定义得出，利用同角三角函数的基本关系可得出，然后在中根据可求得该双曲线离心率的值.【详解】如下图所示：由，可知，，则点在双曲线的右支上，设交轴于点，连接，由对称性可知，，所以，，所以，，所以，，所以，，由，解得,所以，，因此，该双曲线的离心率为.故答案为.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.17．(1)(2)2【分析】（1）由三角形面积公式直接计算即可；（2）利用余弦定理求边，角B，结合正弦的和角公式可得，再利用正弦定理计算即可.【详解】（1）由三角形的面积公式及已知得：，解得，；（2）由（1）可知：，∵，∴，，由余弦定理得：，则，所以，由正弦定理，．18．(1)57.5(2)分布列见解析，【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.（2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．【详解】（1）因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．的所有可能取值为．，，．从而的分布列为01234故．19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证这两个面垂直，只需证明平面内的一条直线垂直于平面即可，因为是等边三角形，可选中点，连接，在平面内寻找与垂直的直线，从而得到线面垂直.（2）结合（1）的结论，可以以为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量研究空间的角和距离.【详解】（1）在图1中，过作，所以，又，所以，所以是等边三角形；连接，可得：也是等边三角形.在图2中取中点，连接，，因为，，所以，所以.且，，PO平面，平面，所以平面，

平面，所以平面平面.（2）因为，，两两垂直，可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.

则，，，所以：，.设，，所以所以.设平面的法向量，则，可取.取平面的法向量.锐二面角的大小为，所以，即或（舍去）.所以平面的法向量，.所以点到平面的距离为.20．(1)，(2)【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解.（2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解.【详解】（1）由题意，解得，所以椭圆的方程为，设，而过点且斜率为1的直线的方程为，即，将其与椭圆方程联立得，消去并整理得，所以，所以弦的长为.（2）由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为，由题意动点在椭圆上，不妨设点，所以点到直线的距离，而，所以，所以，所以点到直线的距离有最大值，所以，即的最大值为.21．(1)；(2)详见解析；(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出；（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．【详解】（1）由题可知，当时，，，，切点为，切线的斜率为，切线方程为：，即；（2）对函数求导可得，．当时，．则在上单调递增．当时，．则，．令，则，或．，则，综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减．（3）有两个极值，，，是方程的两个不等实根，则，，，．要证：．即证：．不妨设，