2024-2025学年陕西省高二上册12月诊断性测试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年陕西省高二上学期12月诊断性测试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知点，点在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（

）A． B． C． D．3．一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（

）A． B． C． D．4．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（）A． B．C． D．无最大值5．在数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．6．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（

）A． B． C． D．27．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（

）A．存在实数，使得曲线为圆B．若曲线C为椭圆，则C．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值10．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．向量与向量的夹角为B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量共面11．已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（）A． B．平面C．异面直线AE与所成的角的余弦值为 D．点到平面ACE的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为.13．已知实数x，y满足，则的取值范围为.14．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．等差数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)求，并求的最大值.16．求满足下列条件的标准方程(1)求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；(2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程；(3)焦点F在y轴上，点在抛物线上，且的抛物线的标准方程．17．已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为(1)求圆的标准方程；(2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值.18．如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，且．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆：（）的上顶点为A0,3，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）.(1)求椭圆的方程；(2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值；(3)求证：直线过定点.

答案1．【正确答案】A【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离，即.故选：A.2．【正确答案】C【详解】对圆进行配方可得：，圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以直线经过圆心，所以，解得，故圆心为，故选：C.3．【正确答案】D【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即，设点关于直线的对称点，则，即，解得，即，于是反射后的光线所在的直线方程为，即，对于A：时，，故A正确；对于B：时，，故B正确；对于C：时，，故C正确；对于D：时，，故D错误.故选：D.4．【正确答案】B【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即，可得，则，故A错误；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项D：因为，且，可知，当时，；当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，对于选项C：因为，所以，故C错误；故选：B.5．【正确答案】B【详解】由，则，，，，…，以上各式累加得．所以．因为也适合上式，所以．故选：B.6．【正确答案】B【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形，有，又F1,0，所以，联立，得，设，则，由抛物线的定义，.故选：B.

7．【正确答案】C【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.【详解】如图所示由题意知，解得记的右焦点为，即，由双曲线的定义，得，即所以，当且仅当点在线段上时等号成立,所以的最小值为.故选：C.8．【正确答案】C【详解】如图，由椭圆定义可知，且，又，利用余弦定理可知：，化简可得，所以的面积为，设的外接圆半径为，内切圆半径为，由正弦定理可得，可得，易知的周长为，利用等面积法可知，解得，又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，即可得，所以，离心率.故选：9．【正确答案】AC【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.【详解】A正确：曲线C为圆即；B错误：C为椭圆C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.故选：AC10．【正确答案】BD【详解】对于A，，则，而，因此，A错误；对于B，，则，，B正确；对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误；对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确.故选：BD11．【正确答案】ABD【详解】如图，建立空间直角坐标系，则.A：，所以，故A正确；B：，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正确；C：，则，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；D：设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，得，所以点到平面的距离为，故D正确.故选：ABD12．【正确答案】【详解】当时，，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.【详解】为数列的前项和，①时，②①②，得：，，，数列的通项公式为.故答案为.本题主要考查了求数列通项公式，解题关键是掌握等比数列通向公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.13．【正确答案】【详解】因为，所以，其表示为圆的上半部分.设半圆上一动点Px,y表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率，当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，设直线的方程为，即，所以，解得或（舍去），则直线的斜率的最大值为；当点为2,1时，则直线的斜率取最小值，为，综上，的取值范围为.故答案为.

14．【正确答案】/【详解】因为、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得，设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，在中，由勾股定理得，化简得，，所以的离心率.故15．【正确答案】(1)；(2)，最大值为16【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得，故数列的通项公式为；（2）由（1），故当时，取得最大值，最大值为16.16．【正确答案】(1)或(2)(3)【详解】（1）由题意得，故，当焦点在x轴上时，椭圆标准方程为，当焦点在y轴上时，椭圆标准方程为，综上，所求的椭圆标准方程为或；（2）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为，即双曲线的标准方程为；（3）设所求抛物线方程为，其准线为，点在抛物线上，且，所以，解得，所以抛物线方程为.17．【正确答案】(1)(2)最大值为；最小值为【详解】（1）由已知圆心在直线上，则设，又圆经过点和，则，即，解得，所以圆心，半径，所以圆的方程为；（2）由已知直线，即，令，解得，即直线过定点，且，所以当直线过点时弦长最大为，当直线时弦长最小为.18．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）证明：分别为中点，为的中位线，且，，又F为中点，为的中位线，又，，又，平面又平面，所以平面平面（2）由（1）知平面，又平面，平面平面因为为中点，又平面平面，所以平面为直线与平面所成角，在直角中，，所以19．