2024-2025学年辽宁省丹东市高三上册联考数学检测试卷（12月份）附解析

2024-2025学年辽宁省丹东市高三上学期联考数学检测试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B={x|y=1−x2}，则A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．（5分）已知命题p：∀α∈R，sin(π3+α)=cos(A．∃α∈R，sin(πB．∀α∈R，sin(πC．∀α∉R，sin(πD．∃α∉R，sin(3．（5分）在等差数列{an}中，已知a1＝﹣9，a3+a5＝﹣9，a2n﹣1＝9，则n＝（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）已知向量a→=(1，−1)，b→=(2，1)A．1或12 B．﹣2或12 C．﹣1或25．（5分）已知α∈(π2，π)，2A．−14 B．14 C．−6．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则（）A．1a+1bC．a2+2b≥8 D．(a+7．（5分）设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c8．（5分）已知a＞1，若关于x的方程（xa−1）lna+xlnx＝0有两个不同的正根，则A．（1，ee） B．（ee，+∞） C．(1，e1e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z1，z2，下列说法正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．|z1z2|＝|z1||z2| C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2| D．|z1+z2|≤|z1|+|z2|10．（6分）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（）A． B． C． D．（多选）11．（6分）设f（x），g（x）都是定义在R上的奇函数，且f（x）为单调函数，f（1）＞1，若对任意x∈R有f（g（x）﹣x）＝a（a为常数），g（f（x+2））+g（f（x））＝2x+2，则（）A．g（2）＝0 B．f（3）＜3 C．f（x）﹣x为周期函数 D．k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）(x3−13．（5分）已知某条线路上有A，B两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若A准点到站的概率为13，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为34，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为716，则B14．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，其前n项和为Sn，则使[S1]+[四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asinB=bcos(A−π（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．16．（15分）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1﹣p（0＜p＜1）．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项．（1）若p=12，且学生李华选择方案（2）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？17．（15分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）ex﹣ax．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间．18．（17分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D为PC的中点，G在线段PB上，且DG=6（1）证明：AD⊥PB；（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．19．（17分）对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得an=bn（1）证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的．（2）记Δan=an+1−an，Δ（3）设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且a1＝3，a2＝4，a3＝6，求{an}的通项公式．

答案与试题解析题号1234567810答案AAADCDBCC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B={x|y=1−x2}，则A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【分析】将集合B化简，再由交集的运算，即可得到结果．解：因为A＝{1，2，3}，B={x|y=1−x2}={所以A∩B＝{1}．故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．（5分）已知命题p：∀α∈R，sin(π3+α)=cos(A．∃α∈R，sin(πB．∀α∈R，sin(πC．∀α∉R，sin(πD．∃α∉R，sin(【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断即得．解：命题p：∀α∈R，sin(π则¬p：∃α∈R，sin(π故选：A．【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3．（5分）在等差数列{an}中，已知a1＝﹣9，a3+a5＝﹣9，a2n﹣1＝9，则n＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】结合等差数列的通项公式即可求解．解：等差数列{an}中，a1＝﹣9，a3+a5＝2a1+6d＝﹣9，则d=32，a2n所以﹣9+（2n﹣2）×3故n＝7．故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题．4．（5分）已知向量a→=(1，−1)，b→=(2，1)A．1或12 B．﹣2或12 C．﹣1或2【分析】由向量点的坐标先求出.ta→+b→解：向量a→则ta→+∵(ta∴(ta→+b→)⋅(−2a→+tb→)=0，即（t∴（t+2）（t﹣1）＝0，∴t＝﹣2或t＝1．故选：D．【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．5．（5分）已知α∈(π2，π)，2A．−14 B．14 C．−【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．解：因为2cos2α=sin(α−所以2(co所以(cosα−sinα)(cosα+sinα+1又α∈(π2，π)，则sinα即cosα﹣sinα＜0．所以cosα+sinα=−12，因为α∈(π由(cosα+sinα)2=14，可得故选：C．【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则（）A．1a+1bC．a2+2b≥8 D．(a+【分析】根据基本不等式“1”的妙用以及基本不等式的应用逐项判断可求出结果．解：a＞0，b＞0，且a+b＝4，对于A，(1当且仅当b4a=a4b，即a＝对于B，因为4=a+b≥2ab，所以ab≤4，当且仅当a＝b所以(a+b)2对于C，因为a2+2b＝a2+2（4﹣a）＝（a﹣1）2+7≥7，故C错误；对于D，(a+2当且仅当ab＝2时，等号成立，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．7．（5分）设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【分析】由题意，利用函数的单调性，结合函数的零点判定定理对选项进行分析，进而可解．解：易知f（x）的定义域为（0，+∞）且y＝ex，y＝lnx均为单调递增函数，所以函数f（x）＝ex+lnx在x∈（0，+∞）上单调递增，因为0＜a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），所以f（a），f（b），f（c）中有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数，因为f（x）存在零点，所以x0＞a．故选：B．【点评】本题考查函数的单调性以及零点存在性定理，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．8．（5分）已知a＞1，若关于x的方程（xa−1）lna+xlnx＝0有两个不同的正根，则A．（1，ee） B．（ee，+∞） C．(1，e1e【分析】由题意，先将方程(xa−1)lna+xlnx=0解：因为a1即1x所以1x令1x易知t=1此时t−log令f(t)=lnt可得f′(t)=1−lnt当0＜t＜e时，f′（t）＞0，f（x）单调递增；当t＞e时，f′（t）＜0，f（x）单调递减，所以f(t)因为当t∈（0，1）时，f（t）＜0；当t∈（1，+∞）时，f（t）＞0，所以0＜lna＜1则a∈(1，e故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z1，z2，下列说法正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．|z1z2|＝|z1||z2| C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2| D．|z1+z2|≤|z1|+|z2|【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD．解：对于A，设z1＝1+2i，z2＝2+i，显然|z1|＝|z2|，但z12=−3+4i≠对于B，设z1＝a+bi，z2＝c+di，则z1z2＝ac﹣bd+（ad+bc）i，|z|z所以|z1z2|＝|z1||z2|，故B对；对于CD，根据复数的几何意义可知，复数z1在复平面内对应向量OZ复数z2对应向量OZ故|z1﹣z2|和|z1+z2|分别为OZ1→所以|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|，|z1+z2|≤|z1|+|z2|，故C对，D对．故选：BCD．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是基础题．10．（6分）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（）A． B． C． D．【分析】对于A，设正方体棱长为2，MN与OP所成角为θ，求出tanθ=22，不满足MN⊥OP；对于B，C，解：对于A，设正方体棱长为2，MN与OP所成角为θ，则tanθ=1124+4=22对于B，如图，作出空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则M（0，2，2），N（2，2，0），P（0，0，1），O（1，1，0），∴MN→=（2，0，﹣2），∴MN→⋅OP→=−4，不满足MN对于C，如图，作出空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则M（2，2，2），N（0，2，0），O（1，1，0），P（0，0，1），∴MN→=（﹣2，0，﹣2），∴MN→⋅OP→=0，满足MN对于D，如图，作出空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则M（0，0，2），N（0，2，0），P（0，0，1），O（1，1，0），∴MN→=（0，2，﹣2），∴MN→⋅OP→=−4，不满足MN故选：C．【点评】本题考查空间中线与线的位置关系，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直的方法是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．（多选）11．（6分）设f（x），g（x）都是定义在R上的奇函数，且f（x）为单调函数，f（1）＞1，若对任意x∈R有f（g（x）﹣x）＝a（a为常数），g（f（x+2））+g（f（x））＝2x+2，则（）A．g（2）＝0 B．f（3）＜3 C．f（x）﹣x为周期函数 D．k=1【分析】对于A，在f（g（x）﹣x）＝a中，令x＝0得a＝f（g（0））＝f（0）＝0，f（x）为单调函数，所以g（x）﹣x＝0；对于B，由f（3）+f（1）＝4，得f（3）＝4﹣f（1）＜3，对于C，设h（x）＝f（x）﹣x，则由f（x+2）+f（x）＝2x+2，可得h（x+2）+h（x）＝0，对于D，由h（x+4）＝h（x），得f（x+4）﹣x﹣4＝f（x）﹣x，{f（4k）}为等差数列，且f（4）﹣f（0）＝4，所以k=1n解：因为f（x），g（x）都是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，g（0）＝0，因为对任意x∈R有f（g（x）﹣x）＝a，所以a＝f（g（0））＝f（0）＝0，所以f（g（x）﹣x）＝0，又f（x）为单调函数，所以g（x）﹣x＝0，即g（x）＝x，因为g（f（x+2））+g（f（x））＝2x+2，所以f（x+2）+f（x）＝2x+2，对于A，g（2）＝2，故A错误；对于B，由f（3）+f（1）＝4，f（1）＞1，得f（3）＝4﹣f（1）＜3，故B正确；对于C，设h（x）＝f（x）﹣x，则由f（x+2）+f（x）＝2x+2，可得h（x+2）+h（x）＝0，所以h（x+4）+h（x+2）＝0，所以h（x+4）＝h（x），即f（x）﹣x为周期函数，故C正确；对于D，由h（x+4）＝h（x），得f（x+4）﹣x﹣4＝f（x）﹣x，即f（x+4）﹣f（x）＝4，所以{f（4k）}为等差数列，k∈N*，且f（4）﹣f（0）＝4，即f（4）＝4，所以f（4k）＝4+4（k﹣1）＝4k，所以k=1nf(4k)=4×故选：BC．【点评】本题考查抽象函数及其应用，函数的性质综合应用，数列求和，属难题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）(x3−【分析】求得二项式展开式中的通项公式，再令x的指数为0，计算可得所求值．解：（x3−1x）4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r（x3）4﹣r（−1x）r=C令12﹣4r＝0，解得r＝3，T4=C43故﹣4．【点评】本题考查二项式展开式中通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知某条线路上有A，B两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若A准点到站的概率为13，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为34，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为716，则B准点到站的概率为【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得B准点到站的概率．解：某条线路上有A，B两辆相邻班次的BRT（快速公交车），A准点到站的概率为13，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为3在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为716设事件A为“A准点到站”，事件B为“B准点到站”，依题意，P(A)=1而P(B|A)=P(A而P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB又P(A|B)=P(AB)P(B)=故14【点评】本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，其前n项和为Sn，则使[S1]+[【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，求出Sn，再结合取整函数的定义，即可求解．解：等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，则a1＝3，故Sn=n(a1∴[Sn2＜n即[S∴n（n+1）⩽4050，n＝63时，63×64＝4032＜4050；n＝64时，64×65＝4160＞4050．故n的最大值为63．故63．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asinB=bcos(A−π（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）由asinB=bcos(A−π（2）由（1）知A=π3，利用余弦定理得到b2+c2＝解：（1）由asinB=bcos(A−π6)故sinAsinB=3即12因为B∈（0，π），sinB≠0，则12所以12因为A∈（0，π），所以A=π（2）由（1）可知，A=π由余弦定理，得b2+c2﹣a2＝bc，又a＝2，所以b2+c2＝bc+4，由基本不等式得：b2+c2≥2bc，即bc+4≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立；又（b+c）2＝b2+c2+2bc＝3bc+4≤16，即0＜b+c≤4，又b+c＞a＝2，所以2＜b+c≤4，所以4＜a+b+c≤6，即△ABC周长的取值范围是（4，6]．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理及基本不等式的应用，属中档题．16．（15分）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1﹣p（0＜p＜1）．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项．（1）若p=12，且学生李华选择方案（2）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？【分析】（1）由题意，记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，得到X的所有可能取值和相对应的概率，代入期望公式中即可求解；（2）记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，ɛ为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，η为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，得到相对应的期望，再列出等式进行求解即可．解：（1）记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，此时X的所有可能取值为0，2，3，可得P(X=0)=12×P（X＝3）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）=1则X的分布列为：X023P383814故E(X)=0×3（2）记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，此时P（ξ＝1）=p×2C4P(ξ=3)=p×C所以E(ξ)=0×1+p记ɛ为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，此时P(ε=0)=p×CP（ɛ＝4）＝p×0+（1﹣p）×CP（ɛ＝6）＝p×1C42+所以E(ε)=0×(1记η为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，此时P(η=0)=p×1+(1−p)×CP（η＝6）＝p×0+（1﹣p）×1所以E(η)=0×(1若满足唯独选择方案Ⅰ最好，此时2−p＜3解得12故p的取值范围为(1【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．17．（15分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）ex﹣ax．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间．【分析】（1）求导，可得f（1）＝e2﹣2，f'（1）＝2e2﹣2，结合导数的几何意义求切线方程；（2）求导可得f'（x）＝（2ex+a）（ex﹣1），分类讨论a的符号以及ln(−a解：（1）当a＝2时，则f（x）＝e2x﹣2x，f'（x）＝2e2x﹣2，可得f（1）＝e2﹣2，f'（1）＝2e2﹣2，即切点坐标为（1，e2﹣2），切线斜率为k＝2e2﹣2，所以切线方程为y﹣（e2﹣2）＝（2e2﹣2）（x﹣1），即（2e2﹣2）x﹣y﹣e2＝0．（2）由题意可知：f（x）的定义域为R，且f′（x）＝2e2x+（a﹣2）ex﹣a＝（2ex+a）（ex﹣1），（i）若a≥0，则2ex+a＞0，令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0；可知f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增；（ii）若a＜0，令f′（x）＝0，解得x=ln(−a2)①当ln(−a2)＜0，即﹣2＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得x令f'（x）＜0，解得ln(−a可知f（x）在(ln(−a2)，0)②当ln(−a2)=0，即a＝﹣2时，则f'（x）＝2（ex﹣1）2≥0，可知f（x③当ln(−a2)＞0，即a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得x令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln(−a可知f（x）在(0，ln(−a2）综上所述：若a≥0，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；若﹣2＜a＜0，f（x）的单调递减区间为(ln(−a2)，0)若a＝﹣2，f（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间；若a＜﹣2，f（x）的单调递减区间为(0，ln(−a2）【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于难题．18．（17分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D为PC的中点，G在线段PB上，且DG=6（1）证明：AD⊥PB；（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．【分析】（1）先证AD⊥平面PBC，根据线面垂直的定义证明线线垂直．（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的大小．解：（1）证明：由于PA⊥底面ABC，并且BC⊂底面ABC，因此PA⊥BC，由于PA∩AC＝A，且PA，AC⊂平面PAC，并且AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，又由于AD⊂平面PAC，因此BC⊥AD，由于PA＝AC，且D为PC的中点，因此AD⊥PC，又由于PC∩BC＝C，且BC，PC⊂平面PBC，因此AD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，因此AD⊥PB．（2）根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则PA＝AC＝BC＝3，可得D(0，32，32)，C（0，3，0），所以PD→=(0，3由于G在线段PB上，令PG→且0＜λ＜1，那么DG→由于DG=6所