2024-2025学年福建省厦门市高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省厦门市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．2．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直3．已知是空间的一个基底，，，，若四点共面．则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）A． B． C． D．5．已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（）A． B． C． D．6．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．8．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．二、多选题（本大题共3小题）9．曲线，下列结论正确的有（）A．若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值C．若，则短轴长为 D．若，则渐近线为10．已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是（

）A．若是递增数列，则数列的前项和为B．若是递增数列，则数列的前项和为C．若各项均为正数，则D．存在无穷多个不同的数列，使得11．“马鞍面”在建筑美学中有重要应用，将两个顶点重合开口方向相反，且拥有共同对称轴的两条抛物线、分别置于相互垂直的平面内，现固定一条抛物线不动，使另一抛物线平移，且满足其顶点始终位于上，则划过的曲面就是马鞍面（如图所示）.现用一个垂直于、共同对称轴的平面截其对应的马鞍面，则截面的形状可能为：（）.A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知点，点，则点到直线的距离为．13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为．14．某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产．A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金400万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元．则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前2n项和．.16．已知椭圆的离心率，直线交于两点，其中，在轴上方．为坐标原点，△的面积为．(1)求的方程；(2)已知抛物线，交于两点，过作以为直径的圆的两条切线分别交直线于，求的周长．17．如图，在四棱锥中，，，，，，，过的平面分别交线段，于，.(1)求证：(2)若直线与平面所成角为，，，求平面和平面夹角的余弦值.18．已知直线，直线，动点到轴的距离小于它到轴的距离，过分别作和的垂线，垂足分别为，为坐标原点，若四边形的面积为，设动点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若交轴正半轴于点，上一点和直线上一点满足是以为底的等腰直角三角形，（i）求直线的斜率；（ii）若在第一象限，过且垂直于的直线和过且垂直于的直线交于，过且平行于的直线交于（在下方）．按照如下方式依次构造点：过且垂直于的直线和过且垂直于的直线交于，过且平行于的直线交于（在下方）．求证：是定值．19．若无穷数列的满足对于给定的正整数，对均成立，则称数列是可均分数列．(1)若各项均为正整数的递增数列是可均分数列，且，求；(2)若“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件，求；(3)若既是可均分数列，也是可均分数列，满足：，求证：是可均分数列．（注：）

答案1．【正确答案】C【详解】因为为抛物线上一点，所以，解得，所抛物线的方程为，所以准线方程为.故选：C.2．【正确答案】A【详解】由题意，所以，所以.故选：A.3．【正确答案】A【详解】因为四点共面，设存在有序数对使得，则，即，所以得.故选：A4．【正确答案】C【详解】由题知，，所以，即线段的长为.故选：C5．【正确答案】D【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，因此，则，由，得，又，解得，所以的最小值为10.故选：D6．【正确答案】C【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.【详解】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A，B，D错误，C正确.故选C.7．【正确答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B8．【正确答案】A【详解】因为，所以△，设，则，设，则，，因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，所以，即是等边三角形，所以，在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．9．【正确答案】ACD【详解】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确；若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，所以，当焦点在轴上时，，所以，故B错误；当时，方程为，故，，故C正确；当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确.故选：ACD10．【正确答案】BCD【详解】由，，当时，，解得或（舍去）；当时，，则，整理得，.对于A，因为是递增数列，且，所以，则，即，所以数列为等差数列，首项为1，公差为1，则，则，则数列的前项和为：，故A错误；对于B，由A知，，则，当为偶数时，数列前项和为：，当为奇数时，数列前项和为：，综上所述，数列前项和为，故B正确；对于C，因为各项均为正数，则，即，即，所以数列为等差数列，首项为1，公差为1，设，，①则，②②①得，，故C正确；对于D，由，，，得或，，即或，，即从起，每一项是“前一项的相反数”或是“前一项加1”.若，则或，由于，从起每项是“前一项加1”，则到第2024项则为，符合题意.由，从1起每项加1至少要到第2025项，所以不符合题意.但对于数列，第2026项及之后的项也不确定，故D正确.故选：BCD.11．【正确答案】AC【详解】设，记在中，，对顶点先向轴负方向运动了个单位，即先向轴正方向运动了个单位到；接下来顶点向轴负方向运动了个单位，沿轴正方向观察，相当于平面向上平移了个单位，向轴负方向运动后横坐标由变为，，即：，①当时，原式可退化为：，表示两条相交直线；②时，原方程为：表示一对双曲线.故选：AC.12．【正确答案】【详解】由题意，，所以点到直线的距离为.故答案为.13．【正确答案】【详解】在椭圆中，，，则，即点、，如图，为椭圆上任意一点，则，又因为为圆上任意一点，.当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立．所以的最小值为.故答案为.14．【正确答案】【详解】第n+1年年底剩余资金为，故，又，则是以1400为首项，为公比的等比数列，则，故.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由，，成等差数列知，即，所以，即，因为是首项为，公比为的等比数列，所以，所以的通项公式．（2）由（1）知，，所以，，所以，所以的前2n项和．16．【正确答案】(1)或．(2)【详解】（1）由A0,−1知，又的离心率，所以，得，所以椭圆方程为：，由△的面积为，知，所以，代入得，因为在轴上方，所以，所以点的坐标为或．①当的坐标为时，的斜率，的方程为；②当的坐标为时，的斜率，的方程为；综上，直线的方程为或．（2）若的方程为，则由得，，与只有一个公共点，不符合题意；所以的方程为，设，的中点为，由得，所以，，所以，故以为直径的圆的半径为，又，所以，即，故到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，设切点为设过的圆的两条切线分别与圆切于点，则△的周长为，又，，故的周长为．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由已知，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.取中点，连接，∵，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∴在中，，，，，∴，即，又∵，∴，又∵，，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，即.（2）如图，取中点为，连接，∵，∴，由第（1）问知平面，∴以为原点，，所在直线为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，，，，，设，（）则，易知平面的一个法向量为，∵直线与平面所成角为，∴，解得，∴，又∵，，∴，分别为，中点，∴，∴，，设平面的一个法向量为由，得，令，则，，∴平面的一个法向量为，易知，平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，∴平面和平面的夹角的余弦值为.18．【正确答案】(1)(2)（i）或；（ii）证明见解析【详解】（1）如图1，设Mx,y，因为的斜率为，的斜率为，故，四边形为矩形，

又到直线的距离，故，同理，所以四边形的面积为，所以，又因为到轴的距离小于它到轴的距离，所以，故，所以，所以的方程为．（2）（i）解法一：设，令，代入，得，①当在第一象限时，如图2所示，由于是以为底的等腰直角三角形，易知在轴上方，，作轴，垂足为，则≌，故，故，

又则，即，从而，故，直线的斜率；②当在第二象限时，如图3所示，由于是以为底的等腰直角三角形，易知在轴下方，，

作轴，垂足为，则≌，故，故，又则，即，．从而，故，直线的斜率；③当在第三象限时，由对称性知，直线的斜率；④当在第四象限时，由对称性知，直线的斜率；综上可知，直线的斜率为或．解法二：令，代入，得，易知直线的斜率存在且不为零，故可设直线的方程为，则直线的方程为，则，由得，故，所以，由得，即，故，所以，当时，，，所以，直线的斜率；当时，，，所以，直线的斜率；当时，，，所以，直线的斜率；当时，，，所以，直线的斜率；综上可知，直线的斜率为或．解法三：令，代入，得，设，则，由得，故，由得，又，所以，所以，即，易知，所以，即，所以，当时，，所以，，直线的斜率；当时，，所以，，直线的斜率；当时，，所以，，直线的斜率；当时，，所以，，直线的斜率；综上可知，直线的斜率为或．（ii）解法一：因为在第一象限，由（i）知，，如图4，记，

设，，则由于时，所以对时，故，又由得，故，从而，（*）因为，故，所以直线的方程为，①同理直线的方程为，②，由①，②得，，，故，即点在直线上，另一方面，设线段的中点为，则由（*）知，，即，从而点也在直线上，故，均为直线与直线的交点，从而，重合，故是线段的中点，因为，所以，故，即是定值．解法二：因为在第一象限，由（i）知，，如图4，记，

设，，则由于时，所以，对时，设直线的方程为，又由得，故，从而，（*）因为，故，所以直线的方程为，①同理直线的方程为，②，由①，②得，，，，故，即点在直线上，另一方面，设线段的中点为，则由（*）知，，即，从而点也在直线上，故，均为直线与直线的交点，从而，重合，故是线段的中点，因为，所以，故，即是定值．19．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）因为是可均分数列，所以对均成立，即，令，则，令，则，两式相减得，，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以对任意，所以等号当且仅当时成立，又因为，所以．（2）当时，若是可均分数列，对，，所