湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 含解析

高考资源网(）您身边的高考专家（AI教学）订购热线二数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则z=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算求解.【详解】根据题意，，则.故选：A2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解对数不等式，得到，根据交集概念求出答案.【详解】，故，故.故选：C3.已知向量，，且，则实数（）A. B. C.5 D.10【答案】C【解析】【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值.【详解】由已知可得：，因为，所以有，解之得：.故选：C.4已知，直线，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直列式求解.【详解】由直线与垂直，得，即，解得，而，所以.故选：B5.设为等差数列的前n项和，若，则（）A.10 B.15 C.21 D.38【答案】D【解析】【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出,再根据等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，则，即，所以，则,因此.故选：D6.已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件可得，结合椭圆的定义判断点的轨迹形状及位置，利用待定系数法求其方程.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设动圆的半径为，由动圆与圆内切，且与圆外切，得，则，因此点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆，而焦距，即，则短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：B.7.如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解.【详解】由题意得，，∴，∴.A.如图，过点作于点，

对于A，由向量数量积的几何意义得，由于点动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误；对于B，，由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误；对于C，，由于不是定值，故选项C错误；对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值.故选：D.8.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果.【详解】由得，设过点的直线与曲线切于点，则切线斜率为，所以切线方程为因为切线过点，所以，整理得，因为过点的切线有两条，所以方程有两不同实根，因此，解得或，即实数a的取值范围是.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（）A.该公司2020—2024年快递业务量逐年上升B.该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件C.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%D.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%【答案】ABD【解析】【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可.【详解】对A：由图可知：2020—2024年快递业务量逐年上升，故A正确；对B：2020—2024年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确；对C：因为增长率从小到大排序，即则中位数为，故C错误；对D：由，故D正确.故选：ABD10.记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（）A. B.C.的最大值为 D.【答案】BD【解析】【分析】先用反证法证明可判断A，判断数列是正项递减数列，可得，从而可判断BC；结合基本不等式可判断D.【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1，因为，若公比，则都大于等于1，矛盾，所以，A不正确；因为，所以，即，所以数列是正项递减数列，可得，所以的最大值为，C不正确；，B正确；因为，所以，D正确.故选：BD.11.已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】构造函数，由已知求导可得在上单调递减，即可比较A正确，C错误，又是的唯一零点，所以，借助单调性可得，，即得B正确，D错误.【详解】令，则，由题意知，所以，即在上单调递减，所以，，故A正确，C错误.又是的唯一零点，所以，又在上单调递减，所以，，即，，故B正确，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则________.【答案】2【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算计算得解.【详解】由，得，则，所以.故答案为：213.记数列的前n项和为，且满足，则________.【答案】【解析】【分析】根据题中递推公式，得到，与原式作差整理，得到数列是等比数列，根据等比数列求和公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，两式作差得，即，则，又，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列因此故答案为：14.已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为________.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离求得圆的半径为，利用双曲线的定义及中位线的性质得，由余弦定理建立方程求得，从而得到渐近线斜率.【详解】由题意，双曲线一条渐近线为，则点到渐近线的距离，即圆的半径为，连接，则，由双曲线的定义知，所以，在中，为的中点，B为的中点，所以，，则为.在中，，在中，，因为，所以，所以，所以渐近线斜率.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称.（1）求的解析式；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据周期求得；利用对称中心求得，得到结果；（2）由条件结合诱导公式二倍角余弦公式求，再由平方关系求，根据两角差余弦公式求结论.【小问1详解】因为的最小正周期，所以，因为的图象关于点对称，所以，即，所以，，又，所以，故.【小问2详解】，所以，又，所以，从而，所以.16.记数列的前n项和为，已知.（1）证明：是等差数列；（2）若，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据通项公式和前项和公式的关系消去，根据等差数列的定义即可判断；（2）利用裂项相消求和即可求出不等式左边，从而判断其范围.【小问1详解】∵，又，两式相减可得，∴，∴，∴是以为公差的等差数列.【小问2详解】由已知得.∴，∴.∴.17.如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，.（1）求证：平面；（2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由题中条件，求出，根据勾股定理证明，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）取的中点，连接并延长交于，结合（1）中结论，证明平面平面，得到，，两两互相垂直，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据平面夹角公式的向量表示，即可求出结果.【小问1详解】因为是边长为2的等边三角形，且，，所以，.又，所以.此时，所以.又，，平面，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，连接并延长交于，则，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，再由（1）可知平面，平面，故，又平面，所以平面，可得，，两两互相垂直，故以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为，所以，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，可得；设平面的一个法向量为，则，令，可得.因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且.（1）求E的方程.（2）设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合.（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值；（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求出焦点坐标，进而得到椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆和抛物线的交点坐标满足两个方程来确定椭圆方程.（2）（i）根据直线的倾斜角得到直线方程，然后分别代入椭圆和抛物线方程，利用弦长公式求出和的值，进而求出它们的比值.（ii）设出直线方程，求出交点坐标，再根据斜率公式计算出，然后证明.【小问1详解】由已知得C的焦点为，即，所以.①因为，由抛物线的定义可得，所以.代入E的方程可得.②由①②解得，，所以E的方程为.【小问2详解】设，，，.（ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为.联立整理得，则，所以.联立整理得，则，，所以.所以.（ⅱ）由题意知，，设，且直线AB的方程为.联立整理得，显然，则，，所以，，，，又，即，所以为和的等差中项.【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．19.已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求a的值；（3）若实数m，n满足，证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到，结合，利用导数几何意义得到切线方程；（2）求导，得到的单调性，进而得到所以，设，求导，得到的单调性，，故，当且仅当时等号成立，若满足，必有，求出；（3）变形后得到，换元后化为，由（2）知，当时，，当且仅当时取等号，故，从而成立，同理，要证明，即证明，即，令，，求导得到的单调性，所以，即，整理得，从而成立.【小问1详解】若，则，定义域为，，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】，令，得，当时，，当时，，在上单调递减，在