2025高考数学二轮复习-专题突破练3 导数的简单应用【课件】

专题突破练3导数的简单应用202512345678910111213141516一、选择题1.(2024·浙江名校联盟模拟预测)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是(

)D12345678910111213141516A12345678910111213141516123456789101112131415163.(2024·广东一模)设点P在曲线y=ex上,点Q在直线y=x上,则|PQ|的最小值为(

)B123456789101112131415164.(2024·四川宜宾模拟预测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8,则f(1)等于(

)A.-4 B.16C.-4或16 D.16或18A12345678910111213141516

123456789101112131415165.已知函数f(x)=(x-1)(ex+a)在区间(-1,1)上单调递增,则实数a的最小值为(

)A.e-1 B.e-2 C.e D.e2A解析

由题意得f'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,f'(x)=ex+a+(x-1)ex=xex+a,故xex+a≥0,即a≥-xex在(-1,1)上恒成立,令g(x)=-xex,x∈(-1,1),则g'(x)=-ex-xex=-(x+1)ex<0在区间(-1,1)上恒成立,故g(x)=-xex在区间(-1,1)上单调递减,故g(x)<g(-1)=e-1,故a≥e-1,故a的最小值为e-1.故选A.123456789101112131415166.(2024·山东二模)已知f(x)为定义在R上的奇函数,设f'(x)为f(x)的导函数,若f(x)=f(2-x)+4x-4,则f'(2023)=(

)A.1 B.-2023 C.2 D.2023C12345678910111213141516解析

因为f(x)=f(2-x)+4x-4,所以两边求导,得f'(x)=-f'(2-x)+4,即f'(x)+f'(2-x)=4,①因为f(x)为定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),两边求导,得f'(x)=f'(-x),所以f'(x)是定义在R上的偶函数,所以f'(2-x)=f'(x-2),结合①式可得,f'(x)+f'(x-2)=4,所以f'(x-2)+f'(x-4)=4,两式相减得,f'(x)=f'(x-4),所以f'(x)是周期为4的偶函数,所以f'(2

023)=f'(-1)=f'(1).由①式,令x=1,得f'(1)=2,所以f'(2

023)=f'(1)=2.故选C.123456789101112131415167.(2024·陕西西安模拟预测)已知函数f(x)=,则f(2),f(e),f(3),f(5)从大到小顺次为(

)A.f(5),f(3),f(e),f(2)B.f(2),f(e),f(5),f(3)C.f(e),f(3),f(2),f(5)D.f(e),f(5),f(3),f(2)C12345678910111213141516解析

f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),当1<x<e时,f'(x)>0,f(x)在(1,e)上单调递增;当x>e时,f'(x)<0,f(x)在(e,+∞)上单调递减,f(x)在区间(1,+∞)上的最大值为f(e).得f(e)>f(3)>f(4)>f(5),且f(e)>f(2).所以f(e)>f(3)>f(2)>f(5).故选C.123456789101112131415168.已知函数f(x)=x3-x+1,则下列选项错误的是(

)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有且只有一个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线D1234567891011121314151612345678910111213141516∴f(x)只有一个零点.∵f(x)+f(-x)=2,∴点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心.由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;曲线y=f(x)在点(-1,1)处的切线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直线y=2x与曲线y=f(x)不相切.故选D.12345678910111213141516二、选择题9.(2024·河南郑州模拟预测)过点P(a,b)作直线l与函数f(x)=-2x3的图象相切,则(

)A.若点P与原点重合,则直线l的方程为y=0B.若直线l与直线x-6y=0垂直,则6a+b=4C.若点P在f(x)的图象上,则符合条件的直线l只有1条D.若符合条件的直线l有3条,则AD12345678910111213141516解析

设直线l与f(x)=-2x3的图象切于点Q(t,-2t3),当点P与点Q不重合时,切线斜率k=f'(t)=-6t2=,整理得4t3-6at2-b=0,当点P与点Q重合时,切线斜率k=f'(a)=-6a2=-6t2.对于A,若点P与原点重合,点P在函数f(x)=-2x3图象上,则a=b=0,此时t=0,k=0,l的方程为y=0,A正确;对于B,若直线l与直线x-6y=0垂直,则k=-6t2=-6,t=±1,当点P(a,b)为切点时,6a+b=4或6a+b=-4,当点P(a,b)不为切点时,4t3-6at2-b=0,当t=1时,4-6a-b=0,6a+b=4,当t=-1时,-4-6a-b=0,6a+b=-4,B错误;12345678910111213141516对于C,当点P在f(x)的图象上时,b=-2a3,4t3-6at2-b=0,则4t3-6at2+2a3=0,即(t-a)2(2t+a)=0,所以t=a或t=,故a≠0有两解,符合条件的直线l有2条,C错误;对于D,若符合条件的直线l有3条,则点P(a,b)不在f(x)图象上,设直线l与f(x)=-2x3的图象切于点Q(t,-2t3),则有4t3-6at2-b=0,设g(t)=4t3-6at2-b=0,g'(t)=12t2-12at,由g'(t)=0,得t=0或t=a,符合条件的直线l有3条,g(t)有3个零点,则g(0)g(a)=-b(-2a3-b)<0,故选AD.1234567891011121314151610.(2024·河南南阳模拟预测)已知函数f(x)=x2-2alnx-1,a∈R,则(

)A.若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2,则a=2B.若a=1,则函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)C.若a>0,则函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为a2-2alna-1D.若x∈[1,+∞),f(x)≥0,则a的取值范围为(-∞,1]BD1234567891011121314151612345678910111213141516对于D,因为x≥1,当a≤0时,f'(x)≥0,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(1)=0,所以a≤0成立;当a>0时,由C项知当0<a≤1时,f(x)≥f(1)=0,则0<a≤1成立;则a>1不成立.综上,实数a的取值范围为(-∞,1],D正确.故选BD.123456789101112131415161234567891011121314151611.已知函数f(x)=xsinx-cosx的定义域为[-π,π],则(

)A.f(x)为奇函数B.f(x)在[0,π)上单调递增C.f(x)恰有3个极值点D.f(x)有且仅有2个极大值点CD12345678910111213141516解析

对于A,函数的定义域为[-π,π],关于原点对称,f(-x)=-xsin(-x)-cos(-x)=xsin

x-cos

x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A错误.对于B,f'(x)=sin

x+xcos

x+sin

x=2sin

x+xcos

x,显然f'(0)=0,当x>0时,令f'(x)=0,即2sin

x+xcos

x=0,得tan

x=x,分别作出y=tan

x和y=x在[-π,π]上的图象,如图所示.12345678910111213141516由图可知,若存在x0∈[0,π)使得f'(x)=0,当x∈[0,x0)时,f'(x)>0;当x∈(x0,π]时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π]上单调递减,故B错误.对于C,D,由图象可得y=tan

x和y=x在区间[-π,π]上共有3个公共点,且图象在这些公共点处都不相切,当x∈(-π,x1)时,f'(x)>0;当x∈(x1,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,故x1为f(x)的极大值点,0为f(x)的极小值点,故f(x)在区间[-π,π]上的极值点的个数为3,有2个极大值点和1个极小值点,故C,D正确.故选CD.12345678910111213141516三、填空题12.(2024·江西模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:y=ex(x<1)的一条切线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,则△OAB的面积的最大值为

.

123456789101112131415161234567891011121314151613.(2024·广东模拟预测)f(x)=cosxcos2x在区间[0,π]上的极值点个数为

.

212345678910111213141516解析

由f(x)=cos

xcos

2x=2cos3x-cos

x⇒f'(x)=-6sin

xcos2x+sin

x=6sin3x-5sin

x=sin

x(6sin2x-5),根据正弦函数的性质可知当x∈(0,x1)∪(x2,π)时,f'(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,即f(x)在(0,x1),(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,所以f(x)=cos

xcos

2x在区间[0,π]上的极值点个数为2.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516四、解答题15.(13分)(2024·安徽二模)已知函数f(x)=x2-10x+3f'(1)lnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间和极值.12345678910111213141516解

(1)函数f(x)=x2-10x+3f'(1)ln

x,求导得f'(x)=2x-10+则f'(1)=-8+3f'(1),解得f'(1)=4,于是f(x)=x2-10x+12ln

x,f(1)=-9,所以所求切线方程为y+9=4(x-1),即y=4x-13.(2)由(1)知,函数f(x)=x2-10x+12ln

x,定义域为(0,+∞),当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,当2<x<3时,f'(x)<0,因此函数f(x)在(0,2),(3,+∞)上单调递增,在(2,3)上单调递减,当x=2时,f(x)取得极大值f(2)=-16+12ln

2,当x=3时,f(x)取得极小值f(3)=-21+12ln

3,所以函数f(x)的增区间为(0,2),(3,+∞),减区间为(2,3),极大值为-16+12ln

2,极小值为-21+12ln

3.1234567891011121314151616.(15分)(2024·北京西城二模)已知函数f(x)=4asinx+(a2+1)x2,其中a≥0.(1)若f(x)在x=0处取得极小值,求a的值;(2)当a=1时,求f(x)在区间

上的最大值;(3)证明:f(x)有且只有一个极值点.12345678910111213141516(1)解

f'(x)=4acos

x+2(a2+1)x,因为f(x)在x=0处