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规范练620251231.(13分)(2024·江苏连云港模拟)已知函数f(x)=(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)证明:∀x∈[0,+∞),f(x)>sinx.123令h(x)=ex-x-1,可得h'(x)=ex-1.当x∈[0,+∞)时,h'(x)=ex-1≥0,所以h(x)=ex-x-1在区间[0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,即f'(x)=ex-x-1≥0,当x=0时,f(0)=1>sin

0=0,当x>0时,f(x)>1≥sin

x.综上所述,∀x∈[0,+∞),f(x)>sin

x.123123123(2)sin

C(1+cos

B)=sin

B(2-cos

C),(方法一)sin

C+sin

Ccos

B+sin

Bcos

C=2sin

B,∴sin

C+sin(B+C)=2sin

B,∴sin

C+sin

A=2sin

B,根据正弦定理得c+a=2b.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A=b2+c2+bc,①将a=2b-c代入①式,得3b2-5bc=0,1231233.(15分)(2024·山东泰安模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2.图1图2(1)证明:平面BCDE⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.123所以四边形ABCE为正方形,四边形BCDE为平行四边形,所以BE⊥AC,CD∥BE.即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,OA1∩OC=O,OA1,OC⊂平面A1OC,所以BE⊥平面A1OC.又因为BE⊂平面BCDE,所以平面BCDE⊥平面A1OC.图1图2123(2)解

因为平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O⊂平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE.又因为OC⊂平面BCDE,所以A1O⊥OC.又由(1)知BE⊥OC,BE⊥OA1,所以直线BE,OC,OA1两两垂直.如图,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设A1B=1,所以A1B=A1E=BC=ED=1.123设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1)

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