二重积分的计算法

二重积分的计算法第二节二重积分的计算法上节讨论了二重积分的概念，按照二重积分的定义来计算二重积分对少数特别简单的情况是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来说，这不是一种切实有效的方法．为此，我们首先对曲顶柱体的体积进行分析，从而导出二重积分的计算方法，即把二重积分化为两次定积分来计算，这种方法称之为累次积分法．一、在直角坐标系下计算二重积分设函数f(x,y)在区域D上连续，且当(x,y)∈D时，f(x,y)≥0．如果区域D是由直线x=a，x=b与曲线y=φ1(x)，y=φ2(x)所围成的，如图9-4所示，即D={(x,y)a≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)}，图9-5一、在直角坐标系下计算二重积分此区域为X型区域，则二重积分是区域D上以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积．为了确定曲顶柱体的体积，可在x处用平行于平面yOz的平面去截曲顶柱体，设截面面积为A(x)，由定积分的应用可知平行截面面积为A(x)的立体的体积公式为于是

（9-1）一、在直角坐标系下计算二重积分由图9-5可知，A(x)是曲边梯形的面积．对固定的x，此曲边梯形的曲边是由z=f(x,y)确定的y的一元函数的曲线，而底边沿着y的方向从φ1(x)到φ2(x)．因此图9-5一、在直角坐标系下计算二重积分代入式（9-1）得（9-2）通常写成

（9-3）右端的积分叫累次积分．一、在直角坐标系下计算二重积分于是二重积分就化为计算两次定积分．第一次计算时，x应看成常量，这时y是积分变量，第二次积分时x是变量．同理，如果用平行于坐标平面xOz的平面去截区域D上以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体，此时如图9-6所示，此区域为Y型区域.一、在直角坐标系下计算二重积分图9-6一、在直角坐标系下计算二重积分类似于X型区域，可以得到Y型区域的累次积分为

（9-4）即将二重积分化为先对x后对y的累次积分，如图9-7所示．图9-7一、在直角坐标系下计算二重积分如果去掉上面讨论中f(x,y)≥0的限制，则式（9-3）或式（9-4）仍成立．特别地，（1）区域D是一矩形，即D={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d}，则式（9-3）与式（9-4）变为

（9-5）一、在直角坐标系下计算二重积分（2）如果函数f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，且区域则一、在直角坐标系下计算二重积分图9-8

（3）如果平行于坐标轴的直线与区域D的边界线交点多于两点，如图9-8所示，则要将D分成几个小区域，使每个小区域的边界线与平行于坐标轴的直线的交点不多于两个．然后再应用积分对区域的可加性计算．一、在直角坐标系下计算二重积分既然计算二重积分可归结为计算两次定积分，因此问题的关键是积分限的确定，建议先画积分区域D的图形，再写出区域D上的点的坐标所要满足的不等式，从而定出积分的上、下限．一、在直角坐标系下计算二重积分试将

化为两种不同次序的累次积分，其中D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．

解积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，过y作与x轴平行的直线从左向右穿过区域D，穿入时碰到的边界曲线为x=y，穿出时离开的边界曲线为x=2－y，从而变量x满足y≤x≤2－y．积分区域D可用不等式组表示为【例1】一、在直角坐标系下计算二重积分图9-9一、在直角坐标系下计算二重积分于是若先积y后积x，即选择X型积分区域，则需将积分区域D向x轴投影，得x轴上的区间为［0,2］，于是变量x满足0≤x≤2，在区间［0,2］上任取一点x作平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，穿入时碰到的边界曲线为y=0，当0≤x≤1时，穿出时离开的边界曲线为y=x，当1≤x≤2时，穿出时离开的边界曲线为y=2－x．积分区域D分为两部分D1和D2（见图9-10），D1和D2分别可用不等式组表示为一、在直角坐标系下计算二重积分图9-10一、在直角坐标系下计算二重积分于是一、在直角坐标系下计算二重积分化二重积分为累次积分的关键在于确定二次积分的上、下限．一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或常数，而外层积分的上、下限则一定为常数．注意一、在直角坐标系下计算二重积分交换积分的次序．【例2】分析交换积分次序的步骤：（1）根据所给的积分上、下限写出表示积分区域D的不等式组；（2）依据不等式组画出积分区域D的草图；（3）用穿线法确定新次序积分上、下限．一、在直角坐标系下计算二重积分

解根据所给的积分可知，积分区域D可用不等式组表示为故可画出积分区域D的草图如图9-11所示，按新的积分次序用穿线法可知，D将分成两个区域D1和D2，即于是一、在直角坐标系下计算二重积分图9-11一、在直角坐标系下计算二重积分计算，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所围成的区域．

解画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，则有【例3】一、在直角坐标系下计算二重积分图9-12一、在直角坐标系下计算二重积分若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2，于是

显然此式计算起来要麻烦得多（请读者自己完成）．由此可见，选择合适的积分次序，对于计算二重积分是至关重要的．一、在直角坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中D是直线y=2x,x=2y,x+y=3所围成的区域．

解如图9-13所示，无论选择先积y后积x还是先积x后积y，积分区域D都将不可避免分成两部分．下面采用X型积分将D分为D1和D2两部分，【例4】一、在直角坐标系下计算二重积分于是图9-13一、在直角坐标系下计算二重积分计算,其中D是由直线y=x,y=1与y轴所围成的区域．

解画出积分区域D，如图9-14所示，并求出边界曲线的交点(1,1),(0,0)及(0,1)．由图可见，这个二重积分采用哪一种积分次序，都不会出现区域D分块计算的情形．但是，如果先积y后积x，e－y2就无法积分（它的原函数不是初等函数），因此只能采用先积x后积y的次序进行计算．【例5】一、在直角坐标系下计算二重积分图9-14一、在直角坐标系下计算二重积分二重积分化累次积分时，积分次序的选择不仅要看积分区域的特征，而且还要考虑到被积函数的特点．原则是既要使计算能进行，又要使计算尽可能地简便．这需要读者通过自己的实践，逐渐灵活的掌握．注意一、在直角坐标系下计算二重积分图9-15计算二重积分，其中区域D是由x=0,x=1,y=0,y=1围成的矩形，如图9-15所示．

解因为积分区域D是矩形区域，且ex+y=ex·ey,所以【例6】一、在直角坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中区域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所围成的第一象限的图形，如图9-16所示．【例7】图9-16一、在直角坐标系下计算二重积分

解因为积分区域为所以一、在直角坐标系下计算二重积分求在xOy平面上由y=x2与y=4x－x2所围成的区域的面积．

解由性质5可知，二重积分的值就是区域D的面积A的数值．由图9-17知【例8】一、在直角坐标系下计算二重积分图9-17一、在直角坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中区域D是由x=y2和(x－1)2+y2=1所围成的图形（见图9-18）．【例9】图9-18一、在直角坐标系下计算二重积分分析考察区域D，若先积y后积x，则需将D分块才便于计算；若先对x积后对y积，则求不出来．所以还是采用前一方案．解考虑到被积函数的特点，选取先对y积后对x积，将D分为D1和D2两部分，一、在直角坐标系下计算二重积分由于D关于x轴对称，而被积函数

关于y是奇函数，其在对称区间上的积分为0，所以一、在直角坐标系下计算二重积分在应用对称性计算二重积分时，与定积分类似，不仅要求积分区域的对称性，同时要考虑被积函数具有相应的奇偶性，两者缺一不可.注意一、在直角坐标系下计算二重积分下列等式是否成立？并简述理由．其中【例10】一、在直角坐标系下计算二重积分

解（1）成立．因为被积函数是关于x的奇函数，且积分区域关于y轴对称．（2）成立．因为被积函数关于x,y都是偶函数，且积分区域同时关于x轴与y轴对称．（3）不成立．虽然积分区域同时关于x轴与y轴对称，但被积函数f(x,y)=xy关于x,y都是奇函数，它在第二、四象限取负值，第一、三象限上积分值为正值．实际上根据积分区域的对称性与被积函数的奇偶性可知，一、在直角坐标系下计算二重积分利用积分区域的对称性与被积函数奇偶性计算下列二重积分．所围成区域，f为连续函数．【例11】一、在直角坐标系下计算二重积分（1）解因积分区域D是由中心在原点的椭圆围成，显然关于x轴对称，且函数f(x,y)=xy关于y是奇函数，所以（二重积分中当被积函数为1时，其值等于积分区域的面积，椭圆面积为abπ，即2π）．故

一、在直角坐标系下计算二重积分分析（2）分析被积函数出现抽象函数形式，直接积分是不可能得到结果的，但注意到被积函数中的第二项，不妨设为满足即φ(x,y)关于x,y均是奇函数．若能将积分区域D分成合适的两部分，各部分分别关于x轴和y轴对称，则利用对称性使问题迎刃而解．一、在直角坐标系下计算二重积分

解用曲线y=－x3将积分区域D分成D1和D2两部分（见图9-19）．显然D1关于y轴对称，函数φ(x,y)关于x是奇函数；D2关于x轴对称，函数φ(x,y)关于y是奇函数．故从而一、在直角坐标系下计算二重积分图9-19一、在直角坐标系下计算二重积分利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性往往使二重积分的计算简化，避免容易出错的繁琐计算，而且使无法直接积分的问题得以解决．但必须注意利用这种方法计算时，一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面．下面给出几个常用到的结论：注意一、在直角坐标系下计算二重积分（1）如果积分区域D关于y轴对称，则有（2）如果积分区域D关于x轴对称，则有一、在直角坐标系下计算二重积分（3）如果积分区域D关于x轴和y轴均对称，则有一、在直角坐标系下计算二重积分求下列绝对值函数的二重积分其中D由x≤1,0≤y≤2所围成的区域．【例12】一、在直角坐标系下计算二重积分分析这是绝对值函数的二重积分，首先要考虑去掉绝对值符号．这可通过划分积分域为若干块来处理，使得在各块上被积函数不变号．显然，曲线y=x2将区域D（见图9-20）分成D1和D2两部分，在D1上图9-20一、在直角坐标系下计算二重积分在D2上于是一、在直角坐标系下计算二重积分计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加．注意二、在极坐标系下计算二重积分有些积分在直角坐标系下计算很困难，而积分区域边界线用极坐标表示较为简单．如本章开头所提出的关于球的体积的计算公式推导，学习了定积分的几何意义以后，我们已经知道球的体积

，其中该二重积分在直角坐标系下计算极为麻烦（有兴趣的读者不妨试试），而在极坐标系下计算就很简单，为此我们推导极坐标系下二重积分的计算．在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极坐标(r,θ)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为二、在极坐标系下计算二重积分

其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π．下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式．设函数f(x,y)在区域D上连续，区域D的边界曲线如图9-21所示，图9-21二、在极坐标系下计算二重积分

又设r1(θ)与r2(θ)在［α,β］上连续．在直角坐标系中，我们用平行于x轴与y轴的两簇直线划分区域D为一系列小矩形，与此类似，在极坐标系中我们用一簇r为常数的同心圆和θ为常数的过极点的一簇射线束作划分．将极角分别为θ与θ+Δθ的两条射线和半径分别为r与r+Δr的两条圆弧所围成的小区域记作Δσ，则二、在极坐标系下计算二重积分当Δr，Δθ充分小时，有Δσ≈rΔrΔθ，所以面积微元是

而被积函数为f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)，于是得到

（9-7）式（9-7）即为直角坐标下的二重积分变换为极坐标系下的二重积分的公式．计算极坐标下的二重积分，也要化为累次积分．我们按下面三种情况予以说明．二、在极坐标系下计算二重积分（1）极点O在区域D之外的情况，如图9-22所示．这时区域D可表示为图9-22二、在极坐标系下计算二重积分于是

（9-8）（2）极点O在区域D的边界上，如图9-23所示.这时区域D可表示为图9-23二、在极坐标系下计算二重积分于是（3）极点O在区域D的内部，如图9-24（a）所示.这时区域D可表示为图9-24二、在极坐标系下计算二重积分于是

（9-8）（4）极点O被积分区域D围在内部（但不在D内），如图9-24（b）所示.这时区域D可表示为于是二、在极坐标系下计算二重积分特别指出，用二重积分计算平面图形的面积公式在极坐标系下为现在我们来解决球的体积计算公式的推导：显然，在极坐标系下，区域可表示为D:0≤θ≤2π,0≤r≤R，于是所以球的体积公式为二、在极坐标系下计算二重积分当区域D是圆或圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示较为简单，或者被积函数为

等形式时，一般采用极坐标计算二重积分较为方便．注意二、在极坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中D是圆x2+y2=2y围成的区域，如图9-25所示．【例13】图9-25二、在极坐标系下计算二重积分分析因被积函数为f(x2+y2)，且积分区域D是圆形区域，故采用极坐标计算简单．极坐标系下化二重积分为累次积分，一般选择的积分次序是：先r后θ，定限时仍采用穿线法．为确定θ的变化范围，从极点出发作射线穿过区域D，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分区域D开始接触时的θ角即为θ的下限，离去时的θ角即为上限；由于极径r≥0，穿入时碰到的区域D的边界曲线r1(θ)为下限，穿出时离开的区域D的边界曲线r2(θ)为上限．二、在极坐标系下计算二重积分

解区域D:x2+y2=2y的极坐标方程为r=2sinθ．利用穿线法可知，区域D可表示为所以二、在极坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中D是圆围成的区域（见图9-26）.【例14】图9-26二、在极坐标系下计算二重积分

解区域D用极坐标可表示为所以一、在直角坐标系下计算二重积分计算，其中D是圆环所围成的区域．

解积分区域D如图9-27所示，用极坐标可表示为【例15】图9-27二、在极坐标系下计算二重积分所以二、在极坐标系下计算二重积分利用极坐标计算要特别注意三点：(1)计算公式不要漏掉面积微元的伸缩系数r，即dxdy=rdrdθ.(2)变为极坐标后的二重积分

，仍要化为关于r,θ的累次积分再计算.(3)根据极点与区域的位置关系，利用穿线法，相应地确定不同的积分限．注意二、在极坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中D是由y=x2,x=2,y=1所围成的区域．【例16】二、在极坐标系下计算二重积分图9-28分析观察被积函数，考虑用极坐标计算,但积分区域（见图9-28）不易表示．当两者不能兼顾时，一般优先考虑简化积分区域．本题积分区域不能用极坐标化简，不如仍用直角坐标计算．二、在极坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中D是由圆周，直线y=x及x轴所围成的第一象限内的区域．

解考察积分区域和被积函数都宜用极坐标计算．积分区域D如图9-29所示，用极坐标可表示为所以【例17】二、在极坐标系下计算二重积分图9-29二、在极坐标系下计算二重积分计算二重积分，其中D是由上半圆周及直线y=x,x=2所围成的区域．

解考察积分区域和被积函数都宜用极坐标计算．积分区域D如图9-30所示，用极坐标可表示为所以【例18】二、在极坐标系下计算二重积分图9-30二、在极坐标系下计算二重积分计算泊松

解因为

的原函数不是初等函数，所以不能直接用定积分计算．若设其中D是整个第一象限，即D={(x,y)x≥0,y≥0}，如图9-31所示．则有【例19】图9-31二、在极坐标系下计算二重积分即

只要算出即可．根据该二重积分被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算.在极坐标系下，区域D可表示为二、在极坐标系下计算二重积分于是