三 重 积 分教学课件

三重积分一、三重积分的概念类比引入1.在定积分和二重积分的讨论中，我们曾讲过有共性的实例，即求非均匀物体的质量．如果物体的密度是该物体上点P的连续函数f(P)，那么物体的质量根据物体的不同几何形状，便有不同的积分概念．（1）物体是一个细的直线棒，则非均匀细棒的质量为一、三重积分的概念其中f(x)是线密度函数（点P即为点x），直线棒占有区间为［a,b］，于是（2）物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为其中f(x,y)是面密度函数（点P即为点(x,y)），薄片占有区域为D(D为xOy面上的闭区域)，于是一、三重积分的概念（3）如果物体是一空间立体，它占有空间为Ω，又该如何计算它的质量呢？我们把空间立体Ω任意分成n个小立体Δvi（i=1,2,…,n），且以Δvi表示第i个小立体的体积，在小立体Δvi上任取一点Pi(ξi,ηi,ζi)，显然小立体的质量近似等于于是，立体Ω的总质量近似地等于和式一、三重积分的概念令λ为这些小立体的最大直径（直径定义如前描述），我们自然会想到，当λ→0时，上面的和式就会趋于这个立体的总质量，也就是说，立体Ω的总质量为这种和式极限与定积分、二重积分的和式极限结构形式类似．它不仅在质量计算中，而且在物理、力学、工程计算中也经常会遇到，由此引出三重积分定义．一、三重积分的概念三重积分定义2.定义1

设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数．将Ω任意分成n个小闭区域Δv1,Δv2,…,Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积．在每个Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi)，作乘积f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)，并作和如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于0时，这个和式极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分，记作，即一、三重积分的概念

（9-9）其中dv叫作体积微元．在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么，除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域Δvi均为长方体．设长方体小闭区域的边长为Δxj,Δyk,Δzl，则Δvi=ΔxjΔykΔzl．因此，在直角坐标系中，有时也把体积微元dv记作dxdydz，而把三重积分记作，其中dxdydz叫作直角坐标系中的体积微元．一、三重积分的概念(1)当函数f(x,y,z)在闭区域Ω上连续时，（9-9）式右端的和式极限必定存在，也就是函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分必定存在．以后无特殊说明，我们总是假定函数f(x,y,z)在闭区域Ω上是连续的．(2)关于二重积分的一些术语，如被积函数、积分区域等，可相应地推广到三重积分中．二重积分的性质，也可类似地推广到三重积分，这里就不再重述．注意一、三重积分的概念

(3)如果f(x,y,z)表示某空间物体在点(x,y,z)处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续，则该空间物体的质量为特别地，当被积函数f(x,y,z)=1时，三重积分等于该空间物体的体积，即二、三重积分的计算由计算二重积分的方法推广知，计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次定积分来计算．下面将在不同坐标系下分别讨论三重积分化为三次定积分的计算方法，且只限于叙述计算方法，不作理论证明．二、三重积分的计算在直角坐标系下计算三重积分1.设三重积分存在，在直角坐标系中，假定平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面S相交不多于两点．把闭区域Ω投影到xOy面上，得一平面闭区域Dxy（见图9-38），以Dxy的边界为准线作母线平行于z轴的柱面．这柱面与曲面S的交线把S分为上、下两部分，它们的方程分别为二、三重积分的计算图9-38二、三重积分的计算其中z1(x,y)与z2(x,y)都是Dxy上的连续函数，且z1(x,y)≤z2(x,y)．过Dxy内任一点(x,y)作平行于z轴的直线，直线通过曲面S1穿入Ω内，然后通过曲面S2穿出Ω外，穿入点与穿出点的竖坐标分别为z1(x,y)与z2(x,y)．在这种情形下，积分区域Ω可表示为先将x，y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，在区间［z1(x,y),z2(x,y)］上对z积分．积分的结果是x，y的函数，记为F(x,y)，即二、三重积分的计算

然后再计算F(x,y)在闭区域Dxy上的二重积分假如闭区域把这个二重积分化为二次定积分，于是得到三重积分的计算公式：

（9-10）二、三重积分的计算式(9-10）把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次定积分．如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域Ω投影到yOz面上或xOz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次定积分来计算．如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S的交点多于两个，可采用计算二重积分时的处理办法，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和．二、三重积分的计算计算三重积分，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域．

解作闭区域Ω如图9-39所示．【例1】图9-39二、三重积分的计算将Ω投影到xOy面上，得投影区域Dxy为三角形闭区域OAB．直线OA，OB及AB的方程依次为y=0，x=0及x+2y=1，所以在Dxy上使用穿线法：在Dxy内任取一点(x,y)，过此点作平行于z轴的直线，该直线通过平面z=0穿入Ω内，然后通过平面z=1－x－2y穿出Ω外，可以定出z的范围为0≤z≤1－x－2y．于是，由式（9-10）得二、三重积分的计算有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即有下述计算公式．设空间闭区域二、三重积分的计算其中Dz是竖坐标为z的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域（见图9-40），则有

（9-11）这种计算三重积分的方法叫作“先二后一法”．图9-40二、三重积分的计算计算三重积分，其中Ω是由椭球面所围成的空间闭区域．

解如图9-41所示．用竖坐标为

的平面截椭球面，得椭圆截面Dz可表示为【例2】图9-41二、三重积分的计算其面积为由(9-11）式得二、三重积分的计算证明,其中Ω是球体【例3】分析由于被积函数只是z的函数，而用垂直于z轴的平面截积分区域

所得到的都是圆域，圆域的面积等于

因此，用先二后一法很简单．二、三重积分的计算

证选用先二后一法将Ω向z轴投影，得－1≤z≤1，再用垂直于z轴的平面截Ω得于是二、三重积分的计算当被积函数只是z的函数，而用垂直于z轴的平面截积分区域Ω所得到的截面面积容易求时，用先二后一法求解比较简单．注意二、三重积分的计算在柱面坐标系下计算三重积分2.设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为(ρ,θ)，则这样的三个数ρ,θ,z就叫作点M的柱面坐标（见图9-42），这里规定ρ,θ,z的变化范围为：0≤ρ<+∞,0≤θ≤2π,－∞<z<+∞．三组坐标面分别为ρ＝常数，即以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，即过z轴的半平面；z＝常数，即与xOy面平行的平面．图9-42二、三重积分的计算显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

（9-12）要把三重积分中的变量变换为柱面坐标，用三组坐标面ρ＝常数，θ＝常数，z＝常数，把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体．现在考虑由ρ,θ,z各取得微小增量所成的柱体体积（见图9-43）．这个体积等于高与底面积的乘积．其中高为dz，底面积在不计高阶无穷小时为ρdρdθ（即极坐标系中的面积微元），于是得二、三重积分的计算图9-43二、三重积分的计算这就是柱面坐标系中的体积微元．再由关系式(9-12）得

（9-13）其中F(ρ,θ,z)=f(ρcosθ,ρsinθ,z)，式(9-13）就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式.变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次定积分来进行．化为三次定积分时，积分限应根据ρ,θ,z在积分区域Ω中的变化范围来确定，下面通过实例来说明．二、三重积分的计算利用柱面坐标计算三重积分，其中Ω是由曲面与平面z=4所围成的闭区域．

解把闭区域Ω投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域在Dxy内用穿线法可得于是【例4】二、三重积分的计算计算，其中Ω是由曲面及平面z=5所围成的闭区域．

解如图9-44所示，Ω为锥体，宜用柱面坐标计算．将z=5代入锥面方程，得两者的交线为【例5】图9-44二、三重积分的计算Ω在xOy面的投影区域为圆域在Dxy内用穿线法可得

于是二、三重积分的计算(1)本题中z的取值

，很容易误为0≤z≤5，若果真为后者，则Ω变为柱形域而非题设的锥形域，请比较一下两者的区别，从中吸取经验教训．(2)将空间区域Ω向xOy面投影得投影区域为Dxy，如果在投影区域Dxy上的二重积分适合用极坐标计算，则空间区域Ω上的三重积分适合于用柱面坐标计算．一般来说，当积分区域Ω是圆柱形区域（包括圆柱形区域的一部分）或空间区域Ω的投影区域是圆域，被积函数仅仅是x2+y2或z的函数时，考虑采用柱面坐标计算该三重积分．注意二、三重积分的计算在球面坐标系下计算三重积分3.设M(x,y,z)为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定，其中r为原点O与点M之间的距离，φ为有向线段

与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段

的角，这里P为点M在xOy面上的投影（见图9-45）．图9-45

二、三重积分的计算

这样的三个数r,φ,θ叫作点M的球面坐标，这里r,φ,θ的变化范围是三组坐标面分别为：r＝常数，即以原点为中心的球面；φ＝常数，即以原点为顶点，z为旋转轴的圆锥面；θ＝常数，即过z轴的半平面.设点M在xOy面上的投影为P，点P在x轴上的投影为A，则OA=x,AP=y，PM=z．又OP=rsinφ,z=rcosφ．因此，点M的直角坐标与球面坐标的关系为二、三重积分的计算

（9-14）现在要把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标．为此，用三组坐标面r＝常数，φ＝常数，θ＝常数，把Ω分成许多个小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是六面体．现在考虑由r,φ,θ各取得微小增量dr,dφ,dθ所成的六面体体积（见图9-46）．在不计高阶无穷小时，这个六面体的体积可看作长方体的体积，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为rsinφdθ，向径方向的高为dr，于是得二、三重积分的计算图9-46二、三重积分的计算这就是球面坐标系中的体积微元．再由关系式(9-14）得

（9-15）其中F(r,φ,θ)=f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)．式(9-15）就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式，对于变量变换为球面坐标后的三重积分的计算，同样可化为对r、对φ和对θ的三次定积分来进行．化为三次定积分时，积分限应根据r,φ,θ在积分区域Ω中的变化范围来确定．二、三重积分的计算若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r=r(φ,θ)，则当积分区域Ω为球面r=R所围成时，则特别地，当F(r,φ,θ)=1时，由上式即得球的体积这就是我们立体几何中球的体积计算公式．下面通过实例来说明：①在什么情况下利用球面坐标计算三重积分；②如何利用球面坐标来计算三重积分.二、三重积分的计算求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体（见图9-47）的体积．【例6】图9-47二、三重积分的计算

解由于所求体积是球体的一部分，故选用球面坐标计算．如图9-47所示，球面的方程为r=2acosφ，锥面方程为φ=α．立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式来表示，所以二、三重积分的计算求，其中Ω是由球面所限定的球域．

解考虑到被积函数含有，且积分域又是球面所围成的球域，故选用球面坐标计算较简单．曲面的球面坐标形式为r=cosφ，Ω可表示为【例7】二、三重积分的计算于是二、三重积分的计算计算三重积分，其中Ω是由曲面所围成．【例8】解法1因Ω是由上半锥面与上半球面所围区域，可选用球面坐标计算．如图9-48所示．图9-48二、三重积分的计算由，得于是Ω可表示为所以二、三重积分的计算解法2对于，由于被积函数是关于x的奇函数，Ω关于yOz平面对称，因而有若设Ω在第一卦限的部分为Ω1，Ω关于yOz平面与zOx平面均对称，被积函数z对x,y均为偶函数．于是故二、三重积分的计算解法3采用先二后一法由于锥面与球面交线为

于是二、三重积分的计算将下列三重积分用三种坐标化为累次积分，并选择一种简单方法计算该三重积分其中Ω是由曲面所围成.【例9】二、三重积分的计算

解（1）在直角坐标系下：题设球面与锥面的交线为，Ω在xOy平面的投影为于是

（9-16）（2）在柱面坐标系下：

（9-17）二、三重积分的计算（3）在球面坐标系下：

（9-18）比较（9-16）、（9-17）与（9-18）式，易见（9-18）式的积分限与被积函数均较简单，且有二、三重积分的计算(1)在计算三重积分时，选择恰当的坐标系对计算的繁简程度起到举足轻重的作用．对于坐标系的选择，一方面要顾及积分区域的形状，另一方面也要考察被积函数的形式．(2)一般而言，积分区域Ω是长方形或Ω的投影是X型或Y型区域，则累次积分定限比较容易，可直接用直角坐标计算．当积分区域Ω是柱形域及其一部分，或被积函数含“x2+y2”时，用柱面坐标计算较方便．当积分区域Ω是球形域及其一部分，或被积函数含“x2+y2+z2”时，用球面坐标计算较方便．注意二、三重积分的计算

(3)当化简积分区域与被积函数不能兼顾时，则优先考虑积分域的化简，这可使积分限简单或易安排，从总体上看就化简了计算．但事物不是绝对的，应具体问题具体分析．同时，还要培养空间想象力．一方面我们学习了空间解析几何，应熟知一些空间曲面的方程和形状．另一方面作一个积分题，并不总需要把图形画出来，可以通过空间想象把积分限写出来．为了熟悉三重积分的计算，我们再举几个例子．二、三重积分的计算计算,其中Ω是曲面z=xy与平面y=x,y=1,z=0所围成的区域．

解积分域Ω如图9-49所示，将Ω向xOy面投影的三角形区域可表示为【例10】图9-49二、三重积分的计算选择直角坐标系计算，则积分域可表示成于是二、三重积分的计算计算，其中

旋转抛物面及平面z=1所围成的区域．

解积分区域Ω如图9-50所示，Ω在xOy面投影区域为圆域，因此可选择柱面坐标，积分域可表示成

于是【例11】二、三重积分的计算图9-50二、三重积分的计算计算,其中