换元积分法教学课件

换元积分法一、第一类换元积分法

运用不定积分的线性运算法则和基本积分公式，可以求一些简单函数的不定积分．为了求出一些更复杂函数的不定积分，我们来学习与复合函数求导法则相对应的积分方法．通常的做法是通过适当的变量代换，将某些比较复杂的被积函数变换成符合基本积分表中的形式，从而容易求出积分，这种积分的方法叫换元积分法．不定积分换元积分法通常分为第一类换元积分法和第二类换元积分法两种．一、第一类换元积分法

例如，上节思考题中提到的积分：∫2xcosx2dx，观察被积函数发现，不能用直接积分法积出，但被积表达式中的一部分2xdx如果凑微分变成dx2，再将积分变量换成变量u=x2,这样被积表达式就和基本积分公式(7)相同了．因此，本题可这样求解

上述这种解题方法的关键是将被积函数的一部分与dx凑微分，然后引入中间变量，把中间变量看成新的积分变量的情况下，被积函数就符合了基本积分公式的形式，利用积分公式求出结果，再把中间变量换回原变量即可，即如果不定积分∫g(x)dx不能直接利用基本积分公式求解，但被积函数g(x)可变形为g(x)=f［φ(x)］φ′(x)．作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．如果∫f(u)du可以求出，那么∫g(x)dx的问题也就解决了，这就是第一类换元积分法，又称为凑微分法．一、第一类换元积分法定理1

(第一类换元积分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x)是可微函数，则有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．(4-1)证因为∫f(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u)．根据复合函数的求导法则，得因此∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．证毕．一、第一类换元积分法解本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则【例1】解先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令u=tanx，再积分，即【例2】一、第一类换元积分法【例3】一、第一类换元积分法（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．（2）熟练掌握第一类换元积分法的运用以后，可以省略写出引进变量u的步骤．注意一、第一类换元积分法

下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮助．一、第一类换元积分法

【例4】【例5】一、第一类换元积分法【例7】一、第一类换元积分法

解

被积函数中含有正弦函数且为偶次方，在计算这种积分时，往往要运用三角恒等式，将被积函数降幂转化为积分公式表中所列的形式．本题利用半角公式sin2x=1－cos2x/2，将被积函数降为一次幂后再积分．【例8】一、第一类换元积分法【例9】【例10】一、第一类换元积分法【例11】当被积函数为两个三角函数（正弦函数和余弦函数）的一次乘积时，一般要先积化和差再积分．注意一、第一类换元积分法【例12】一、第一类换元积分法

解凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先将复杂分式化成几个最简单的分式，再积分．由于【例13】一、第一类换元积分法【例14】一、第一类换元积分法

解

本题的关键是首先要把被积函数分母中的前一项变成1，将1/adx凑微分得d(x/a)，而后利用第二节中基本积分公式(12)．【例15】一、第一类换元积分法【例16】一、第一类换元积分法【例17】一、第一类换元积分法

类似地，有另一方面一、第一类换元积分法【例18】【例19】一、第一类换元积分法（1）使用凑微分法的重点在于如何“凑”出一个函数的微分．一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式；另一方面对那些不常见的，则不妨从被积函数中拿出一个表达式来，求其导数，从而决定如何凑微分．（2）把式（4-2）~式（4-9）的结果扩充到本章第二节的基本积分公式表中，以后可以直接用．总结如下：注意一、第一类换元积分法

一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法

第一类换元积分法(凑微分法)是通过变量代换u=φ(x)，将φ′(x)dx凑微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］φ′(x)dx转化为∫f(u)du，从而易于积分．凑微分法能解决一部分积分问题，但是还有一类不定积分使用凑微分法却不奏效，如∫11+xd和∫x2－9xd等这些被积函数含有根号的无理函数的积分问题．针对这些问题，如果我们做适当的变量代换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，这就是第二类换元积分法的思想．详细叙述成下面的定理．定理2(第二类换元积分法)若x=φ(t)单调可微且φ′(t)≠0，f［φ(t)］φ′(t)有原函数Φ(t)，则∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［ψ(x)］+C，即∫f(x)dx=Φ［ψ(x)］+C．（4-10）其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数．二、第二类换元积分法证明由假设知：Φ′(t)=f［φ(t)］φ′(t)，利用复合函数和反函数求导法则，得下面举例说明如何使用第二类换元积分法．二、第二类换元积分法【例20】二、第二类换元积分法

以上两例是通过令nax+b=t

将被积函数有理化，如果被积函数中含有根指数不同的几个根式，又该如何将被积函数有理化呢？请看下面例题．【例21】二、第二类换元积分法

解

被积函数中所含的两个根式的根指数分别为2和3，最小公倍数为6，故应设

=t(t>0)，才能把被积函数中所含的两个根式都去掉，则有【例22】二、第二类换元积分法【例23】二、第二类换元积分法

二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法

为了由假设x=asint方便地求出其他三角函数值，常作一辅助直角三角形（见图4-2），由图容易看出，这样可以省去许多没必要的计算．

利用三角公式消去根号的方法通常称为三角代换法．（1）例20和例23的解答表明，使用第二类换元积分法往往要指明中间变量的取值范围．只有这样，才能保证将中间变量换回原变量时，有确定的函数关系．例如，例20中的t=x，例23中的，都是根据预先指明的中间变量的取值范围，确定根号前的符号的．（2）第二类换元积分法是针对被积函数是无理数，即被积函数含有根式的情况，作变换x=x(t)后，可使被积函数去掉根式，达到有理化的目的．常用的变换如下：注意二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例24】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例25】二、第二类换元积分法

二、第二类换元积分法【例26】二、第二类换元积分法

二、第二类换元积分法式（4-11）~式（4-13）常常可以当公式直接用，所以可以添加到到基本积分公式表中．注意二、第二类换元积分法

求下列不定积分【例27】二、第二类换元积分法一般的，当被积函数为分式，而分子的积分变元幂次低于分母的积分变元幂次减1时，可采用倒代换．由例27解法可知，我们在实际解题时，除常用的变量代换以外，要具体问题具体分析，采取灵活的代换，将被积函数有理化．二、第二类换元积分法