矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义6-1设A是复数域上的一个n阶方阵，如果存在数λ和非零的n维列向量α，使得Aα=λα

（6-1）则称数λ为矩阵A的一个特征值，并且称非零向量α为矩阵A属于特征值λ的一个特征向量.矩阵的特征向量是非零向量.特征值与特征向量均是对方阵而言的，本章中如果不特别说明，涉及的矩阵均指方阵.提示显然，一个特征向量只能属于一个特征值，从而特征值由特征向量所唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的.这是因为：如果向量α为矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A，λ，α满足式（6-1），那么，对于任意的数k≠0，由矩阵乘法和数乘运算的规律，有A(kα)=k(Aα)=k(λα)=(kλ)α=(λk)α=λ(kα)

又因为kα≠0，所以kα也是矩阵A属于特征值λ的特征向量.将式（6-1）中等号的左端移项到右端，并利用矩阵的运算规律，可得(λE-A)α=0

其中等号右端的0为n维零向量(0,0,…,0)

T.因此，n阶方阵A的特征值就是使得齐次线性方程组(λE-A)X=0（6-2）有非零解的λ.式（6-2）是一个具有n个未知量n个方程的齐次线性方程组，由前面的定理和推论知，式（6-2）有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式

λE-A=0，

（6-3）根据行列式的定义，上式左端是一个以λ为未知数的一元n次多项式.于是，n阶方阵A的特征值就是满足式（6-3）的数λ，即多项式λE-A=0的根.定义6-2设A=(aij)是一个n阶方阵，将以λ为未知数的多项式称为矩阵A的特征多项式，这是一个一元n次多项式；将式（6-3）代入上式，即有fA(λ)=λE-A=0

称为矩阵A的特征方程；将矩阵称为矩阵A的特征矩阵.由上面的讨论，n阶方阵A的特征值λ就是A的特征多项式的根，也就是A的特征方程的解；反过来，如果λ是矩阵A的特征多项式的一个根，或者说是A的特征方程的一个解，即满足λE-A=0，那么齐次线性方程组(λE-A)X=0存在非零解α，即α满足(λE-A)α=0

由此可得Aα=λα.于是λ是A的特征值，向量α即为属于特征值λ的特征向量.这样，λ是n阶方阵A的特征值的充分必要条件为λ是A的特征多项式f

A(λ)=λE-A的根.当λ是矩阵A的特征值时，属于特征值λ的特征向量即为齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解.因此，求一个方阵A的特征值和特征向量，就转化为求A的特征多项式的根λ及λ所对应的齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解的问题，具体步骤如下：（1）求出方阵A的特征多项式fA(λ)=λE-A的全部根，即特征方程fA(λ)=0的全部解，这就是A的全部特征值.（2）对于每个特征值λ=λ0，求出齐次线性方程组(λ0E-A)X=0

的所有非零解，根据第四章的讨论，只需求出上面方程组的一个基础解系

η1,η2,…,ηs，从而k1η1+k2η2+…+ksηs（k1,k2,…,ks不同时为零）即为属于特征值λ0的所有特征向量.一个n阶方阵A的特征多项式是一个一元n次多项式，当n较大或者矩阵A比较复杂时，特征多项式与特征多项式的根一般很难求得，上面的方法就很难进行下去.此时，求一个矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法，这是计算数学中的一些专门方法，这里不做介绍.求矩阵的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为这个多项式的根为λ=3，是一个二重根，即为矩阵A的全部特征值.【例6-1】对于特征值λ=3，对应的齐次线性方程组为(3E-A)X=0，即求得这个方程组的一个基础解系为于是kη（k为非零常数）即为矩阵A属于特征值λ=3的所有特征向量.求矩阵的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为这个多项式的根为λ1=－1，λ2=1，λ3=6，即为矩阵A的全部特征值.【例6-2】对于特征值λ1=－1，对应的齐次线性方程组为(－E-A)X=0，即对其系数矩阵进行初等行变换，有因此，可得方程组(－E-A)X=0的一个基础解系为从而k1η1（k1为非零常数）即为矩阵A属于特征值λ1=－1的所有特征向量.对于特征值λ2=1，对应的齐次线性方程组为(E-A)X=0，即对其系数矩阵进行初等行变换，有因此，可得方程组(E-A)X=0的一个基础解系为从而k2η2（k2为非零常数）即为矩阵A属于特征值λ2=1的所有特征向量.对于特征值λ3=6，对应的齐次线性方程组为(6E-A)X=0，即同样，对其系数矩阵进行初等行变换，并可得方程组的一个基础解系为从而k3η3（k3为非零常数）即为矩阵A属于特征值λ3=6的所有特征向量.矩阵的特征值与特征向量的性质二、首先确定一个矩阵A的特征多项式f

A(λ)的系数与其特征值之间的关系.由代数学基本定理，多项式f

A(λ)在复数域内恒有根，并且根的个数为多项式的次数（重根按重数计算）.于是，n阶方阵在复数域中存在n个特征值.定义6-3设n阶方阵为将A的主对角线上元素的和称为方阵A的迹，记为trA.定理6-1设n阶方阵A在复数域内的n个特征值，分别为λ1,λ2,…,λn，则有（1）λ1+λ2+…+λn=trA.（2）λ1λ2…λn=|A|.证明设由于A的特征多项式是一个以λ为未知数的一元n次多项式，不妨设因为A的n个特征值λ1,λ2,…,λn就是特征多项式fA(λ)的n个根，所以fA(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=λn－(λ1+λ2+…+λn)λn－1+…+(－1)nλ1λ2…λn（6-5）（6-4）因此an－1=－(λ1+λ2+…+λn)，a0=(－1)nλ1λ2…λn观察式（6-4）右端的行列式|λE-A|，它的展开式中存在主对角线上元素的乘积(λ－a11)(λ－a22)…(λ－ann)=λn－(a11+a22+…+ann)λn－1+…这一项，并且展开式中的其余各项（取自不同行不同列的n个元素的乘积）中最多包含主对角线上的n－2个元素，即对λ的次数最多为n－2.于是，特征多项式fA(λ)中包含λn和λn－1的项只能出现在主对角线上元素的乘积中.从而fA(λ)中λn－1的系数为an－1=－(λ1+λ2+…+λn)=－(a11+a22+…+ann)=－trA

则有λ1+λ2+…+λn=trA.另外，在（6-4）式中，令λ=0，有而在式（6-5）中，令λ=0，有fA(0)=(－λ1)(－λ2)…(－λn)=(－1)nλ1λ2…λn因此λ1λ2…λn=|A|.推论6-1

设A是一个n阶方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条件是A的特征值均为非零数.证明因为A是可逆矩阵的充分必要条件是A的行列式|A|≠0，而A的n个特征值的乘积λ1λ2…λn=|A|，因此，当A是可逆矩阵时，λ1λ2…λn=|A|≠0，即A的特征值均为非零数；反之亦成立.定理6-2相似矩阵具有相同的特征值.证明设方阵A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得B=P

－1AP.而根据方阵的行列式的运算性质，矩阵B的特征多项式为fB(λ)=|λE-B|=|λE-P－1AP|=|P－1(λE-A)P|=|P－1||λE-A||P|=|λE-A|=fA(λ)

即相似矩阵具有相同的特征多项式.又矩阵的特征值就是特征多项式的根，因此，相似矩阵也具有相同的特征值.推论6-2

相似矩阵具有相同的行列式和迹trA.证明结合定理6-1和定理6-2的结论，即可得到.定理6-3互为转置的两个矩阵具有相同的特征值.证明我们考虑矩阵A及其转置AT的特征值.由于互为转置的两个矩阵的行列式相同，且(λE-A)T=(λE)T－AT=λE-AT

因此fAT

(λ)=|λE-AT|=|(λE-A)

T|=|λE-A|=fA(λ)

即A和AT具有相同的特征多项式.从而，A和AT具有相同的特征值.在前面，针对一个n阶方阵A，我们定义了矩阵的方幂，规定其中r是一个正整数.于是，对一个n阶方阵A，也可以定义矩阵的多项式.设φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0

是一个以x为未知量的s次多项式，其中a0,a1,…,as为常数，且as≠0.规定矩阵A的多项式为φ(A)=asAs+as－1As－1+…+a1A+a0E

显然，一个n阶方阵A的多项式仍然为一个n阶方阵.定理6-4设λ是矩阵A的特征值，α是A属于λ的特征向量，则有（1）对于任意的常数k，kλ是kA的特征值，且α是kA属于kλ的特征向量.（2）对于任意的正整数m，λm是Am的特征值，且α是Am属于λm的特征向量.（3）对于φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0，φ(λ)是φ(A)的特征值，且α是φ(A)属于φ(λ)的特征向量.（4）当A是可逆矩阵时，λ－1是A－1的特征值，且α是A－1属于λ－1的特征向量.（1）对于任意的常数k，有(kA)α=k(Aα)=k(λα)=(kλ)α故kλ是kA的特征值，且α是kA属于kλ的特征向量.（2）对m进行归纳.当m=1时，显然结论成立.假设当m=k时，结论成立，即λk,Ak,α满足Akα=λkα那么，当m=k+1时，有Ak+1α=(AkA)α=Ak(Aα)=Ak(λα)=λ(Akα)=λ(λkα)=λk+1α于是，任意的正整数m，λm是Am的特征值，且α是Am属于λm的特征向量.（3）由前面（1）和（2）的结论，对于φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0，有φ(A)α=(asAs+as－1As－1+…+a1A+a0E)α

=asAsα+as－1As－1α+…+a1Aα+a0Eα=asλsα+as－1λs－1α+…+a1λα+a0α=(asλs+as－1λs－1+…+a1λ+a0)α=φ(λ)α因此，φ(λ)是φ(A)的特征值，且α是φ(A)属于φ(λ)的特征向量.（4）当A是可逆矩阵时，由定理6-1的推论知，λ≠0.那么，由Aα=λα可得α=(A－1A)α=A－1(Aα)=A－1(λα)=λ(A－1α)

两边均乘以λ－1，有A－1α=λ－1α所以，λ－1是A－1的特征值，且α是A－1属于λ－1的特征向量.定理6-5设λ1,λ2,…,λs是矩阵A的互不相同的s个特征值，α1,α2,…,αs为分别与之对应的特征向量，则α1,α2,…,αs线性无关.换句话说，属于不同特征值的特征向量线性无关.证明用数学归纳法证明.当s=1时，由于特征向量α1≠0，而单个非零向量组成的向量组是线性无关的，因此结论成立.假设当s=m时，结论成立，即属于m个不同特征值的特征向量是线性无关的.则对于s=m+1的情形，α1,α2,…,αm+1是属于互不相同的特征值λ1,λ2,…,λm+1的特征向量.如果存在数k1,k2,…,km+1，使得k1α1+k2α2+…+km+1αm+1=0（6-6）对式（6-6）的左右两端分别用A去左乘，且由α1,α2,…,αm+1是属于特征值λ1,λ2,…,λm+1的特征向量，得到k1λ1α1+k2λ2α2+…+km+1λm+1αm+1=0（6-7）再对式（6-6）的左右两端分别乘以数λ1，得到k1λ1α1+k2λ1α2+…+km+1λ1αm+1=0（6-8）用式（6-8）减去式（6-7），有k2(λ1－λ2)α2+…+km+1(λ1－λm+1)αm+1

=0

而α2,…,αm+1是属于互不相同的特征值λ2,…,λm+1的特征向量，由归纳假设，α2,…,αm+1是线性无关的.因此k2(λ1－λ2)=…=km+1(λ1－λm+1)=0

再由λ1,λ2,…,λm+1互不相同，有λ1－λj≠0，j=2,3,…,m+1，得到k2=…=km+1=0

此时，式（6-6）成为k1α1=0.根据α1≠0，必有k1=0.于是α1,α2,…,αm+1是线性无关的.设α1和α2为矩阵A属于不同特征值的特征向量，则α1+α2不是A属于任何特征值的特征向量.证明设α1和α2分别为矩阵A属于不同特征值λ1和λ2的特征向量，即Aα1=λ

1α1，Aα2=λ2α2，且λ1≠λ2下面利用反证法证明.假设α1+α2是A属于特征值λ的特征向量.于是A(α1+α2)=λ(α1+α2)=λα1+λα2

另一方面A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2

【例6-5】两式相减，得到(λ－λ1)α1+(λ－λ2)α2=0

根据定理6-5，知α1和α2线性无关.因此λ－λ1=λ－λ2=0

即有λ1=λ2=λ.这与λ1≠λ2矛盾.于是假设不成立.故α1+α2不是A属于任何特征值的特征向量.下面给出矩阵的特征多项式的一个重要性质.定理6-6（哈密尔顿凯莱定理）设A=(aij)是一个n阶方阵，fA(λ)=λE-A是A的特征多项式，则有fA(A)=O

右端的O为n阶零矩阵，即为An－(a11+a22+…+ann)An－1+…+(－1)n|A|E=O证明设(λE-A)*为A的特征矩阵λE-A的伴随矩阵.由伴随矩阵的性质，有(λE-A)*(λE-A)=λE-AE=fA(λ)E根据伴随矩阵的定义，(λE-A)*是以λE-A的元素的代数余子式为元素的矩阵，而λE-A的元素的代数余子式是以λ为未知量，但是次数不超过n－1.于是，(λE-A)*可以写成如下形式(λE-A)*=λn－1An－1+