傅里叶级数教学课件

傅里叶级数一、周期函数的傅里叶级数前面介绍了函数展开为幂级数的条件及幂级数的应用，从中可看出，幂级数无论在理论上还是实际上都具有重要的作用,但它有两个比较苛刻的条件，一是要求函数具有任意阶导数，二是级数的部分和只在某一点的附近才与函数有较为理想的近似,而实际问题中的函数往往比这条件要弱得多（不可导，不连续），因此在实际应用中幂级数受到较大的限制.如何找到展开条件较弱且更为简单的函数来代替幂级数？这是摆在当时许多数学家面前的一个难题.直到18世纪中叶，法国数学家傅里叶在研究热传导和扩散问题时，发现了周期函数可用一系列正弦函数Ansin(nωt+φn)组成的级数来表示,这个表示比幂级数展开的条件要弱得多，且它的部分和在连续点与函数吻合得非常理想.因此,傅里叶级数比幂级数在工程中的应用更加广泛.一、周期函数的傅里叶级数设一周期函数f(t)可以表示为由正弦函数

组成的级数，即其中令上式右端级数可以写为

（11-14）一、周期函数的傅里叶级数其中a0,an,bn(n=1,2,3,…)都是常数.形如式(11-14)的级数称为三角级数.本节讨论两个基本问题：(1)假定f(x)能展成三角级数(11-14)，如何求出系数an,bn?(2)三角级数(11-14)在什么条件下收敛于f(x)？一、周期函数的傅里叶级数三角函数系的正交性1.函数系

（11-15）称为三角函数系.三角函数系(11-15)中任意两个相异函数的乘积在区间［－π,π］上的积分等于零，即一、周期函数的傅里叶级数一、周期函数的傅里叶级数这个性质为三角函数系的正交性.在三角函数系(11-15)中，两个相同函数的乘积在区间［－π,π］上的积分不等于零，即一、周期函数的傅里叶级数以2π为周期的函数展开成傅里叶级数2.首先讨论第一个问题：假定f(x)能展成三角级数(11-14)，如何求出系数an,bn?假定f(x)以2π为周期，且能展成逐项可积的三角级数

（11-16）求系数a0,an,bn（n=1,2,3,…).对式(11-16)从-π到π逐项积分，得一、周期函数的傅里叶级数由三角函数系的正交性，上式右端除第一项外其余全为0,所以用cos

nx乘式(11-16)两端,同时从-π到π逐项积分，由三角函数系的正交性，得即一、周期函数的傅里叶级数同理，用sinnx乘式(11-16)两端,同时从-π到π逐项积分，由三角函数系的正交性，得即上述结果可写为

（11-17）一、周期函数的傅里叶级数如果式(11-17)的积分都存在，则由式(11-17)确定的系数称为傅里叶系数,将这些系数代入式(11-16)的右端，所得的三角级数称为函数f(x)的傅里叶级数.特别地，若f(x)是奇函数,由于一、周期函数的傅里叶级数因此傅里叶级数只含有正弦项的级数这个级数称为正弦级数.若f(x)是偶函数，由于一、周期函数的傅里叶级数因此傅里叶级数只含有余弦项的级数这个级数称为余弦级数.一个定义在（-∞，+∞）上周期为2π的函数f(x)，若它在一个周期上可积，则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.但是，函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数f(x)？一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的.再讨论第二个问题：三角级数(1114)在什么条件下收敛于f(x)？这个问题直到1829年才由狄利克雷完全解决.一、周期函数的傅里叶级数

（收敛定理，狄利克雷充分条件）设f(x)是周期为2π的周期函数.若f(x)满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x).(2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于定理1一、周期函数的傅里叶级数实际上，不论x是函数f(x)的连续点还是间断点，函数f(x)的傅里叶级数均收敛于该点处函数的左、右极限的算术平均值.因为当x是函数f(x)的连续点时，有从定理1可看出，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.记在C上就成立f(x)的傅里叶级数展开式一、周期函数的傅里叶级数设f(x)是周期为2π的周期函数，它在(－π,π］上的表达式为试写出f(x)的傅立叶级数展开式在区间(－π,π］上的和函数s(x)的表达式.【例1】一、周期函数的傅里叶级数

解函数f(x)满足收敛定理的条件,在(－π,π］上的第一类间断点为x=0,π,在其余点处均连续.故由收敛定理知，在间断点x=0处，和函数在间断点x=π处，和函数一、周期函数的傅里叶级数因此,所求和函数一、周期函数的傅里叶级数设f(x)是周期为2π的周期函数，它在［-π，π）上的表达式为f(x)=将f(x)展开成傅里叶级数.

解函数f(x)满足收敛定理的条件，它在点x=kπ(k=0,±1,±2,…)处有第一类间断点，在其他点处连续.因此,f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x=kπ时收敛于即f(x)的傅里叶级数的和函数为【例2】一、周期函数的傅里叶级数计算傅里叶系数如下:一、周期函数的傅里叶级数故f(x)的傅里叶级数展开式为一、周期函数的傅里叶级数设f(x)是周期为2π的周期函数，将函数f(x)=x(－π≤x＜π)展开成傅里叶级数.

解题设函数满足收敛定理的条件，它在点x=kπ(k=±1,±2,…)处有第一类间断点，在其他点处连续,故f(x)的傅里叶级数在x≠kπ(k=±1,±2,…)处收敛于和f(x),在x=kπ(k=±1,±2,…)处收敛于

.若不计x=kπ(k=±1,±2,…),则f(x)是周期为2π的奇函数,故其傅里叶系数【例3】一、周期函数的傅里叶级数于是一、周期函数的傅里叶级数设f(x)是周期为2π的周期函数,将函数f(x)=x2(－π≤x≤π)展开成傅里叶级数.

解所给函数满收敛定理的条件，f(x)在区间(－∞,+∞)上处处连续.故f(x)的傅里叶级数在区间(－∞,+∞)内收敛于和f(x).因为f(x)=x2是偶函数，所以其傅里叶系数【例4】一、周期函数的傅里叶级数于是，得到所求函数的傅里叶级数一、周期函数的傅里叶级数以2l为周期的函数展开成傅里叶级数3.上面所讨论的都是以2π为周期的函数展开成傅里叶级数的问题，如果函数以2l为周期，又如何展开成傅里叶级数呢？下面的定理回答了这个问题.一、周期函数的傅里叶级数设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为其中定理2一、周期函数的傅里叶级数其中当f(x)是奇函数时，其中一、周期函数的傅里叶级数证明令

于是将区间－l≤x≤l就变换成－π≤z≤π.设函数

从而F(z)是周期为2π的周期函数，并且它满足收敛定理的条件，将F(z)展成傅里叶级数一、周期函数的傅里叶级数其中在以上式子中令

又F(z)=f(x)，于是有而且类似地，可以证明定理的其余部分.一、周期函数的傅里叶级数将函数f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数

的和.

解由于f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)是偶函数，所以【例5】一、周期函数的傅里叶级数因所给函数在区间［－1,1］上满足收敛定理的条件,故当x=0时,从而一、周期函数的傅里叶级数又故一、周期函数的傅里叶级数以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式4.在电子技术中，常常使用傅里叶级数的复数形式.设周期为2l的周期函数的傅里叶级数为

（11-18）其中一、周期函数的傅里叶级数由欧拉公式代入式(11-18)中,得一、周期函数的傅里叶级数其中一、周期函数的傅里叶级数将上述三式合并为一个公式所以，f(x)的傅里叶级数的复数形式为其中

（11-19）一、周期函数的傅里叶级数设f(x)是周期为2的周期函数，它在［－1,1)上的表达式为f(x)=e－x，试将f(x)展开成复数形式的傅里叶级数.

解由公式(11-19)有所以，f(x)的傅里叶级数的复数形式为【例6】二、非周期函数的傅里叶级数前面所讨论的函数都是定义在(－∞,+∞)内的周期函数，对于这种函数只要它在一个区间内满足收敛定理的条件，就能将它展开成傅里叶级数.但在波动和热传导问题中，常要将定义在区间［a,b］上的满足收敛定理条件的非周期函数f(x)展开成傅里叶级数.上一节已介绍了如何将周期函数展开成傅里叶级数，所以要把非周期函数展开，就要对非周期函数进行改造，使非周期函数转化为周期函数，这就是延拓的方法.二、非周期函数的傅里叶级数定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数1.设f(x)是一个定义在［－l,l］上且满足收敛定理条件的函数,下面来讨论它的傅里叶级数展开的问题.事实上，可在［-l,l）或（－l,l］外补充函数f(x)的定义，使它延拓成周期为2l的周期函数F(x).这种拓广函数定义域的过程称为周期延拓.于是，将F(x)展开成傅里叶级数二、非周期函数的傅里叶级数

其中二、非周期函数的傅里叶级数图11-2二、非周期函数的傅里叶级数限制x∈(－l,l)，即得f(x)的傅里叶级数其中根据收敛定理，这级数在区间端点x=±l处收敛于二、非周期函数的傅里叶级数将函数展开成傅里叶级数，并求数项级数的和.

解将所给函数进行周期延拓，并且拓广后的周期函数满足收敛定理的条件且在任一点处连续(见图11-2),因此，拓广后的周期函数的傅里叶级数在［－π,π］内收敛于f(x).傅里叶级数的系数计算如下:【例7】二、非周期函数的傅里叶级数所以，函数f(x)的傅里叶级数为二、非周期函数的傅里叶级数在上式中，令x=0，得故二、非周期函数的傅里叶级数设函数f(x)在［－2,2)上的表达式为试将f(x)展开成傅里叶级数.

解对所给函数进行周期延拓，并且拓广后的周期函数满足收敛定理的条件，且它在x≠2k(k=0,±1,±2,…)时连续，因此,拓广后的周期函数的傅里叶级数在x≠2k(k=0,±1,±2,…)处收敛于计算傅里叶级数的系数如下:【例8】二、非周期函数的傅里叶级数所以二、非周期函数的傅里叶级数定义在区间［0,l］上的函数展开成傅里叶级数2.设f(x)是一个定义在［0,l］上且满足收敛定理条件的函数,那么如何将f(x)展开成傅里叶级数呢？事实上，仍可用前面介绍的延拓法，即先在开区间（-l，0）内补充函数f(x)的定义，得到定义在（－l,l］上的函数，再将其延拓为以2l为周期的函数，就可求其傅里叶级数了.在（-l,0）内如何补充定义没有什么限制，但若补充后成为（-l,l）上的奇函数或偶函数，则计算傅里叶级数可以简便一些.因此，下面来讨论展开函数为正弦级数或余弦级数的方法.二、非周期函数的傅里叶级数1）奇延拓——函数展开成正弦级数作函数再以2l为周期将F(x)延拓于（-∞,+∞）.这样F(x)就是一个以2l为周期的奇函数.二、非周期函数的傅里叶级数补充f(x)的定义使它在（-l,l）上成为奇函数时，若f(0)≠0，规定F（0）=0.`于是，将F(x)展开成正弦级数注意二、非周期函数的傅里叶级数其中限制x∈(0,l)，即得f(x)的正弦级数其中二、非周期函数的傅里叶级数2）偶延拓——函数展开成余弦级数作函数再以2π为周期将F(x)延拓于（-∞,+∞）.这样F(x)就是一个以2l为周期的偶函数.于是，F(x)展开成余弦级数二、非周期函数的傅里叶级数其中限制x∈(0,l)，即得f(x)的余弦级数其中二、非周期函数的傅里叶级数将函数f(x)=1－x(0≤x≤2)分别展开成正弦级数和余弦级数.

解先求正弦级数.为此对函数f(x)进行奇延拓(见图11-3)，于是【例9】图11-3二、非周期函数的傅里叶级数

所以在端点x=0及x=2处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f(x)的值.二、非周期函数的傅里叶级数再求余弦级数.为此对函数f(x)进行偶延拓(见图11-4)