常系数线性微分方程

常系数线性微分方程一、常系数齐次线性微分方程

根据二阶线性微分方程解的结构可知，求解二阶线性微分方程，关键在于如何求得二阶齐次线性微分方程的通解和非齐次线性微分方程的一个特解.本节和下一节将着重讨论二阶线性微分方程的一种特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法.本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法，再把二阶方程的解法推广到n阶方程.二阶常系数齐次线性微分方程及其解法1.

设给定二阶常系数齐次线性微分方程为y″+py′+qy=0，（6-25）其中p，q是常数，要求方程（6-25）的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1，y2就可以了，下面讨论这两个特解的求法.先来分析方程（6-25）可能具有什么形式的特解.从方程的形式上看，它的特点是y″，y′与y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其y″，y′与y之间只相差一个常数，这样的函数就有可能是方程（6-25）的特解，易知在初等函数中，指数函数erx符合上述要求，于是，令y=erx，一、常系数齐次线性微分方程

其中r为待定常数.将y=erx，y′=rerx，y″=r2erx代入方程（6-25），得(r2+pr+q)erx=0，因为erx≠0，故有r2+pr+q=0.（6-26）由此可见，如果r是二次方程r2+pr+q=0的根，则y=erx就是方程（6-25）的特解，这样，齐次方程（6-25）的求解问题就转化为代数方程（6-26）的求根问题，称方程（6-26）为微分方程（6-25）的特征方程，并称特征方程的两个根r1，r2为特征根.根据初等代数的知识，特征根有三种可能的情况，下面分别讨论.一、常系数齐次线性微分方程

(1)特征方程（6-26）有两个不相等的实根r1，r2.此时p2－4q>0，er1x，er2x是方程（6-25）的两个特解，因为所以为线性无关函数，因此，齐次方程（6-25）的通解为其中C1，C2为任意常数.一、常系数齐次线性微分方程(2)特征方程（6-26）有两个相等的实根r1=r2.此时p2－4q=0，特征根r1=r2=－p/2，这样只能得到方程（6-25）的一个特解y1=er1x，因此，还要设法找出另一个特解y2，并使得y1与y2的比不是常数，为此可设y2=uer1x,其中u=u(x)为待定函数.将y2，y′2，y″2的表达式代入方程（6-25），得合并整理，并在方程两端消去非零因子er1x，得一、常系数齐次线性微分方程因r1是特征方程（6-26）的根，所以，在上述关于函数u的方程的第2项和第3项中的系数均等于零，于是上式成为u″=0，取这个方程的最简单的一个解u(x)=x，就得到方程（6-25）的另一个特解y2=xer1x，且y1与y2线性无关，从而得到方程（6-25）的通解为y=(C1+C2x)er1x,其中C1，C2为任意常数.一、常系数齐次线性微分方程

(3)特征方程（6-26）有一对共轭复根r1=α+iβ，r2=α－iβ，其中此时p2－4q<0，方程（6-25）有两个特解y1=e(α+iβ)x，y2=e(α－iβ)x,所以，方程（6-25）的通解为y=C1e(α+iβ)x+C2e(α－iβ)x.一、常系数齐次线性微分方程

由于这种复数形式的解在应用上不方便，在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此可借助欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ对上述两个特解重新组合得到方程（6-25）的另外两个特解y1，y2.实际上，令则由第四节的定理1知，y1，y2是方程（6-25）的两个特解，从而方程（6-25）的通解又可表示为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)，其中C1，C2为任意常数.一、常系数齐次线性微分方程综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（6-25）的通解，只需先求出其特征方程（6-26）的根，再根据根的情况确定其通解，如表6-1所示表6-1一、常系数齐次线性微分方程

这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.一、常系数齐次线性微分方程

求微分方程y″－y′－6y=0的通解.

解

其特征方程为r2－r－6=0,特征根为r1=－2,r2=3,所以微分方程的通解为y=C1e－2x+C2e3x.【例1】一、常系数齐次线性微分方程

求微分方程y″－10y′+25y=0的通解.解其特征方程为r2－10r+25=0,特征根为r1=r2=5,所以微分方程的通解为y=(C1+C2x)e5x.【例2】一、常系数齐次线性微分方程

求微分方程y″+2y′+2y=0的通解.

解

其特征方程为r2+2r+2=0,特征根为r1,2=－1±i,所以微分方程的通解为y=e－x(C1cosx+C2sinx).【例3】一、常系数齐次线性微分方程

求以y=C1ex+C2e－4x为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.解由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2e－4x,可知其特解为ex,e－4x,从而特征根为r1=1,r2=－4,相应的特征方程为r2+3r－4=0,从而可知所求的微分方程为y″+3y′－4y=0.【例4】一、常系数齐次线性微分方程

求微分方程y″+2y′+y=0满足初始条件y|x=0=4,y′|x=0=－2的特解.

解

其特征方程为r2+2r+1=0,特征根为r1=r2=－1,所以此微分方程的通解为y=(C1+C2x)e－x.将初始条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,【例5】一、常系数齐次线性微分方程

从而y=(4+C2x)e－x.将上式对x求导,得y′=(C2－4－C2x)e－x,将初始条件y′|x=0=－2代入,得C2=2,从而所求的特解为y=(4+2x)e－x.一、常系数齐次线性微分方程n阶常系数齐次线性微分方程的解法2.上面讨论的关于二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及通解的形式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程的情形.这里不再详细讨论，只简单叙述如下.

n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y(n)+p1y(n－1)+…+pn－1y′+pny=0，

其特征方程为rn+p1rn－1+…+pn－1r+pn=0.一、常系数齐次线性微分方程根据特征方程的根，可按表6-2所示直接写出其对应的微分方程的解.表6-2一、常系数齐次线性微分方程n次代数方程有n个根（重根按重数计算），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每一项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解为y=C1y1+C2y2+…+Cnyn.注意一、常系数齐次线性微分方程

求微分方程y(4)－2y+y″=0.

解

其特征方程为r4－2r3+r2=0,特征根为r1=r2=0,r3=r4=1,所以此微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3+C4x).【例6】一、常系数齐次线性微分方程二、常系数非齐次线性微分方程

本节着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，并对n阶方程的解法作必要的说明.二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y″+py′+qy=f(x).（6-27）

根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程（6-27）的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程y″+py′+qy=0（6-28）的通解，两个解相加就得到了方程（6-27）的通解，前面已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程（6-27）的一个特解y*.方程（6-27）的特解的形式与右端的自由项f(x)有关，在一般情形下，要求出方程（6-27）的特解是非常困难的，所以，下面仅就f(x)的两种常见的情形进行讨论：（1）f(x)=Pm(x)eλx，其中λ是常数，Pm(x)是x的一个m次多项式，即Pm(x)=a0xm+a1xm－1+…+am－1x+am.（2）f(x)=eλx［Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx］，其中λ，ω是常数，Pm(x),Pn(x)分别是x的m次、n次多项式，其中有一个可为零.二、常系数非齐次线性微分方程f(x)=Pm(x)eλx型1.要求方程（6-27）的一个特解y*就是要求一个满足方程（6-27）的函数，在f(x)=Pm(x)eλx的情况下，方程（6-27）的右端是多项式Pm(x)与指数函数eλx的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍是同类型的函数，因此，可以推测方程（6-27）具有如下形式的特解y*=Q(x)eλx（其中Q(x)为某个多项式）.二、常系数非齐次线性微分方程

y*=Q(x)eλx，y*′=［λQ(x)+Q′(x)］eλx,y*″=［λ2Q(x)+2λQ′(x)+Q″(x)］eλx,代入方程（6-27），并消去因子eλx，得Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).（6-29）于是，根据λ是否为方程（6-28）的特征方程r2+pr+q=0（6-30）的特征根，分下列三种情况讨论：二、常系数非齐次线性微分方程(1)如果λ不是特征方程（6-30）的根，则λ2+pλ+q≠0，由于Pm(x)是x的一个m次多项式，由式（6-29）知Q(x)为一个m次多项式，设Qm(x)=b0xm+b1xm－1+…+bm－1x+bm,将其代入式（6-29），便可求出待定系数bi（i=0,1,2,…,m）的值，并得到所求特解y*=Qm(x)eλx.二、常系数非齐次线性微分方程（2）如果λ是特征方程（6-30）的单根，则λ2+pλ+q=0，2λ+p≠0，由式（6-30）知Q′(x)必须是m次多项式，故可设Q(x)=xQm(x),将其代入式（6-29），便可确定Qm(x)的待定系数bi（i=0,1,2,…,m）.于是，所求特解为y*=xQm(x)eλx.二、常系数非齐次线性微分方程（3）如果λ是特征方程（6-30）的重根，则λ2+pλ+q=0，2λ+p=0.由式（6-29）知Q″(x)必须是m次多项式，故可设Q(x)=x2Qm(x),将其代入式（6-29），便可确定Qm(x)的待定系数.于是，所求特解为y*=x2Qm(x)eλx.综上所述，二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=Pm(x)eλx具有形如y*=xkQm(x)eλx的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，k按λ不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0，1或2.二、常系数非齐次线性微分方程上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根，是特征方程的重根，…，是特征方程的n重根依次取0，1，2，…，n.二、常系数非齐次线性微分方程

求微分方程y″+3y′+2y=3e2x的通解.解对应齐次方程的特征方程为r2+3r+2=0,特征根为r1=－2,r2=－1,对应齐次方程的通解是Y=C1e－2x+C2e－x.f(x)=3e2x写成Pm(x)eλx形式，就是P0(x)=3,λ=2.【例7】二、常系数非齐次线性微分方程因为2不是特征方程的根,所以特解为y=be2x,其中b是待定系数,求出y的一阶和二阶导数y′=2be2x,y″=4be2x,代入微分方程,得4be2x+6be2x+2be2x=3e2x,即12be2x=3e2x,解得b=1/4.故微分方程的一个特解为y=1/4e2x,所以微分方程的通解为y=C1e－2x+C2e－x+1/4e2x.二、常系数非齐次线性微分方程

求微分方程y″+y′=3x的通解.解对应齐次方程的特征方程为r2+r=0,特征根为r1=0,r2=－1,对应齐次方程的通解是Y=C1+C2e－x.f(x)=3x写成Pm(x)eλx形式，就是P1(x)=3x,λ=0.【例8】二、常系数非齐次线性微分方程因为0是特征方程的单根,所以特解为y

=x(a1x+a0)=a1x2+a0x,

求出y的一阶和二阶导数y

′=2a1x+a0,y

″=2a1,

代入微分方程,得2a1+(2a1x+a0)=3x,

比较等式两端同次幂的系数，得2a1=3,2a1+a0=0,二、常系数非齐次线性微分方程

解得a1=32,a0=－3,因此求得一个特解为y=3/2x2－3x,所以微分方程的通解为y=C1+C2e－x+3/2x2－3x.二、常系数非齐次线性微分方程f(x)=eλx［Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型2.下面介绍如何求得形如y″+py′+qy=eλx［Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx］（6-31）的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.

由欧拉公式可知二、常系数非齐次线性微分方程

其中是互为共轭的l次多项式，而l=max{m,n}.对于f(x)=P(x)e(λ+iω)x+P(x)e(λ－iω)x中的第一项P(x)e(λ+iω)x，可求出一个l次多项式Ql(x)，使得y1=xkQl(x)e(λ+iω)x为方程y″+py′+qy=P(x)e(λ+iω)x的特解，其中k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.由于f(x)=P(x)e(λ+iω)x+P(x)e(λ－iω)x中的第二项P(x)e(λ－iω)x与第一项P(x)e(λ+iω)x共轭，所以与y1=xkQl(x)e(λ+iω)x共轭的函数y2=xkQl(x)e(λ－iω)x必然是方程y″+py′+qy=P(x)e(λ－iω)x的特解，这里Ql(x)表示与Ql(x)共轭的l次多项式.二、常系数非齐次线性微分方程因此，方程（6-31）的特解形如由于