高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率课件新人教A版必修

第三章直线与方程本章概览一、地位作用解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科,坐标法是在坐标系的基础上,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.通过学习本章内容,学生不断地体会“数形结合”的思想方法.在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结论,对结论进行代数证明,即用解析方法解决某些代数问题.二、内容标准直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(6)探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.三、核心素养通过本章学习学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率目标导航课标要求1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.素养达成通过直线的倾斜角与斜率的概念的学习,锻炼了学生的数形结合思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心素养的达成.新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.直线的倾斜角(1)直线l的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,

正向与直线l

方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.x轴向上(2)倾斜角的范围当直线l与x轴

时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为

.探究1:若直线l与x轴垂直,其倾斜角是多少度?答案:90°.平行或重合0°≤α<180°2.斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的

叫做这条直线的斜率,记为k,即k=

.过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=

.

正切值tanα探究2:若直线l与x轴平行,其斜率是多少?答案:0.自我检测1.(直线倾斜角的概念)下列说法正确的是(

)(A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角(B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角(C)与x轴平行的直线的倾斜角为180°(D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率D2.(斜率公式的应用)已知点A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则y的值为(

)C3.(由两点计算斜率)过两点A(1,

),B(4,2)的直线的倾斜角为(

)(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°A4.(倾斜角与斜率)已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角

.

答案:90°5.(斜率公式)若A(2,-3),B(4,3),C(5,)在同一条直线上,则k=

.答案:12题型一直线的倾斜角、斜率的定义【例1】(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(

)(A)30°(B)60°(C)30°或150°(D)60°或120°课堂探究·素养提升答案:(1)D(2)直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k=

时,α=60°;当k=

时,α=135°;当k>0时,α的范围是

;当k<0时,α的范围是

.

方法技巧(1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角.(2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况:①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大;②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.即时训练1-1:(1)已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜角为(

)(A)0° (B)45° (C)60° (D)90°(2)已知直线l过点O(0,0),A(1,1),将l绕点O逆时针方向旋转75°,得到直线l′,则直线l′的倾斜角为

,斜率为

.

【备用例1】

(1)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为()(A)α+45°(B)α-135°(C)135°-α(D)当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°解析:(1)由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°;又0°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°(如图所示),故选D.答案:(1)D解析:(2)设直线l2的倾斜角为α,由图可知,α=15°+75°=90°,所以直线l2的倾斜角为90°.答案:(2)90°(2)设直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为

.

题型二斜率公式的应用【例2】已知点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2),直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交.(1)求直线PM与PN的斜率;(2)求直线l的斜率k的取值范围.误区警示求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以,更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响.即时训练2-1:(1)过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于(

)(2)经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是(

)(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)(C)(-1,1) (D)(1,+∞)∪(-∞,-1)【备用例2】求经过下列每两个点的直线的斜率,若对应的倾斜角是特殊角,则求出其倾斜角.(1)C(10,8),D(4,-4);题型三直线的斜率的应用【例3】求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.变式探究:若将例3中的条件变为A(1,m),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线,求m的值,应如何解决?方法技巧若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即kAB=kBC=kAC;若kAB=kBC或kAB=kAC,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同,且又过同一点B或A,因此直线AB与BC或AB与AC重合.即时训练3-1:下列三点能构成三角形的三个顶点的为(

)(A)(1,3),(5,7),(10,12)(B)(-1,4),(2,1),(-2,5)(C)(0,2),(2,5),(3,7