2017年中考数学专题3《规律探究》

解答压轴题突破专题三规律探究在课改以后的中考数学命题中,各地都十分重视规律探究的考查,各省市数学中考试题中基本上每年都有这样的题目,安徽省更是如此.安徽省的中考数学试题,不但每年都有这类试题,而且近五年的中考中,除去2015年的第13题是一个填空题外,其余4年都是以解答题的形式出现的,如2016年的第18题、2014年的第16题、2013年的第18题、2012年的第17题都是分值为8分的解答题,可见安徽省对这类考题的重视程度.这类试题通常有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究等,它的选材不只限于教材上的代数知识或几何知识(材料涉及的知识点并不是考查的重点,而只是考查考生分析归纳能力的载体),所以解答此类问题,相关的知识和技能只是基础,重要的是具备对问题观察、分析、归纳、解决的能力.从考生近几年的答题情况看,规律探究性题目确实具有一定的区分度,对选拔高素质的人才可以说是居功至伟.预测2017年的安徽省中考数学,肯定也会考一个规律探究题,可能是填空题,更有可能是解答题,难度会在中等以上.新课标核心要求,用代数式表示数量关系及所反映的规律,考查考生的抽象思维能力,根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究,一般有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究.数字变化类规律探究,即是通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查考生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.数字变化类规律探究既是规律探究问题中的基础,也是规律探究的重点.图形变化类规律探究,即是给定一些结构类似、数量和位置不同的几何图案,这些图案之间有一定的规律,并且还可以由一个通用的代数式来表示.这种探索图形构成元素规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题.数形结合变化类规律探究,其实质是数字规律探究和图形规律探究的结合,其特点就是二者兼而有之.题型2题型1题型3题型1数字变化类规律探究典例1观察下列等式:①9×0+1=1;②9×1+2=11;③9×2+3=21;④9×3+4=31;……(1)请按以上规律写出第5个等式:;

(2)请用含字母n的式子表示第n个等式:;

(3)试说明以上规律的正确性.题型2题型1题型3【解析】观察以上4个等式的构成规律,不难发现:以上等式都有4项,第1项都是9;第2,3两项均是连续自然数,且第3项比第2项大1;第4项是整十再加1.归纳出这些规律后,不难完成第(1),(2)两题.第(3)题又回到逻辑推理,将等式两边分别计算即可.【答案】(1)9×4+5=41;(2)9(n-1)+n=10(n-1)+1;(3)左边=9n-9+n=10n-9,右边=10n-10+1=10n-9,∴左边=右边,即9(n-1)+n=10(n-1)+1.【方法指导】数字类规律问题一般先观察一列数字的规律,观察分析、归纳猜想得出一般性的结论,再验证,从而得到问题的答案.题型2题型1题型3题型2图形变化类规律探究典例2(2016·马鞍山五校联考)如图,一个3×2的矩形(即长为3,宽为2)可以用两种不同方式分割成3个或6个边长是正整数的小正方形,即:小正方形的个数最多是6个,最少是3个.(1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个,最少是个;

(2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个,最少是个;

(3)一个(2n+1)×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个;最少是个.(n是正整数)

题型2题型1题型3【解析】本题考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键.(1)一个5×2的矩形最少可分成4个正方形,最多可分成10个正方形;(2)一个7×2的矩形最少可分成5个正方形,最多可分成14个正方形;(3)第一个图形:是一个3×2的矩形,最少可分成1+2个正方形,最多可分成3×2个正方形;第二个图形:是一个5×2的矩形,最少可分成2+2个正方形,最多可分成5×2个正方形;第三个图形:是一个7×2的矩形,最少可分成3+2个正方形,最多可分成7×2个正方形;…;第n个图形:是一个(2n+1)×2的矩形,最少可分成n+2个正方形,最多可分成2(2n+1)=4n+2个正方形.【答案】(1)10,4;(2)14,5;(3)4n+2,n+2.题型2题型1题型3题型3数形结合变化类规律探究典例3如图,在函数y=(x>0)的图象上有点P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1,点P1的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段,构成若干个矩形,如图所示,将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1,S2,S3,…,Sn.(1)S1=;

(2)求Sn的表达式.(用含n的代数式表示)题型2题型1题型3【解析】根据反比例函数的图象与性质依次得出点P1,P2,…,Pn的坐标,再依次求解S1,S2,…,Sn即可.213456789101.(2016·合肥高新区一模)观察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,解答下列问题:3+32+33+…+32015的末位数字是9.

【解析】∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,∴末位数字每4个一循环.∵2015÷4=503……3,∴3+32+33+34+…+32015的末位数字相当于:3+9+7+1+…+3+9+7=(3+9+7+1)×503+19=10079的末位数字,应为9.213456789102.(2016·湖南衡阳)如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为10.

【解析】由图可知,(1)有1条直线时,分成1+1=2个部分;(2)有2条直线时,最多分成1+1+2=4个部分;(3)有3条直线时,最多分成1+1+2+3=7个部分;(4)有4条直线时,最多分成1+1+2+3+4=11个部分;…;(n)有n条直线时,最多分成1+1+2+3+…+(n-1)+n=1+=56,整理得n2+n-110=0,解得n=10或n=-11(舍去).213456789103.(2016·甘肃天水)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=16.

【解析】观察图形,发现每个“龟图”中“○”的个数为:第一个:1+4=1+4+0×1;第二个:1+4+2=1+4+1×2;第三个:1+4+6=1+4+2×3;第四个:1+4+12=1+4+3×4;…;第n个:1+4+(n-1)·n=n2-n+5,所以n2-n+5=245,解得n1=16,n2=-15(舍去),故n=16.213456789104.(2016·湖北黄石)观察下列等式:按上述规律,回答下列问题:(1)请写出第n个等式:an=;

(2)a1+a2+a3+…+an=.

21345678910213456789105.(2016·安庆一模)观察下列等式:…(1)请写出第四个等式:.

(2)观察上述等式的规律,猜想第n个等式(用含n的式子表示),并证明其正确性.21345678910213456789106.操作:将一个边长为1的等边三角形(如图1)的每一边三等分,以居中那条线段为底边向外作等边三角形,并去掉所作的等边三角形的一条边,得到一个六角星(如图2),称为第一次分形.接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程,即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形,得到一个新的图形(如图3),称为第二次分形.不断重复这样的过程,就能得到雪花曲线.问题:(1)从图形的对称性观察,图4是图形(轴对称或中心对称图形);

(2)图2的周长为;

(3)试猜想第n次分形后所得图形的周长为.

21345678910213456789107.如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,依此类推,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),…(1)观察每次变换后的三角形,找出规律,按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标为,B4的坐标为;

(2)若按上述规律,将△OAB进行n次变换,得△OAnBn,比较每次变换三角形顶点的变化规律,探索顶点An的坐标为,顶点Bn的坐标为.

21345678910解:由A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,知纵坐标为3,横坐标都和2有关,为2n,∴An(2n,3).由B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),…,知纵坐标为0,横坐标都和2有关,为2n+1,∴B的坐标为Bn(2n+1,0).故答案为(1)(16,3),(32,0);(2)(2n,3),(2n+1,0).213456789108.(2016·芜湖南陵一模)正方形ABCD内部有若干个点,用这些点以及正方形ABCD的顶点A,B,C,D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠):(1)填写下表:(2)原正方形能否被分割成2016个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点?若不能,请说明理由.21345678910解:(1)如图:(2)能,1007个点.设点数为n,则2(n+1)=2016,解得n=1007,答:原正方形能被分割成2016个三角形,此时正方形ABCD内部有1007个点.213456789109.(2016·合肥蜀山区模拟)如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字.(1)摆第一个图形用枚围棋子,摆第二个图形用枚围棋子,摆第三个图形用枚围棋子;

(2)按照这种方式摆下去,摆第n个图形用枚围棋子;

(3)当摆放502枚围棋子时是第几个“山”字?解:(1)第1个“山”字中的围棋子个数是7;第2个“山”字中的围棋子个数是12;第3个“山”字中的围棋子个数是17.(2)结合图形,发现:第n个“山”字中的围棋子个数是3(n+1)+2n-1=5n+2.(3)5n+2=502,解得n=100,所以当摆放502枚围棋子时是第100个“山”字.2134567891010.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究:请写出第六层各个图形的几何点数,并归纳出第n层各个图形的几何点数.21345678910解:∵三角形数前三层的几何点数分别是1,2,3,∴第六层的几何点数是6,第n层的几何点数是n;∵正方形数前三层的几何点数分别是1=2×1-1,3=