电磁学3培训讲学

第三章稳恒电流

（1）掌握电流的稳恒条件和导电规律。掌握电流的连续性方程，了解欧姆定律、焦耳定律的微分形式及意义；

（2）了解金属导电的微观机制。（3）掌握电源电动势的概念和含源电路的欧姆定律，能够熟练计算简单和复杂电路的电流分布及有关问题；（4）清楚电桥、电位差计的工作原理，了解温差电现象及应用。研究问题：导体中稳恒电流的形成、规律以及直流电路的计算。教学要求：第三章稳恒电流§3.1稳恒电流的闭合性§3.2欧姆定律§3.3固体导电机理§3.4电动势和全电路欧姆定律§3.5电路定理§3.1稳恒电流的闭合性电流的形成电流和电流密度电流的连续性方程稳恒电流的闭合性思考题和习题电流和电流密度

电流强度：

定义：（1A=1C/s）

意义：描述导线中电流强弱的物理量。标量。

电流密度矢量：定义：

意义：细致描述电流分布的物理量。矢量。

微观量表示：

电流和电流密度电流密度和电流强度的关系：一个矢量场和它的通量的关系。通过任意曲面的电流反映的是单位时间内通过某一曲面的总电量，而电流密度则反映了空间各点电流的分布情况。

电流线：形象地描述空间各点电流密度的分布情况。电流线上每一点的切线方向与该点电流密度的方向相同，电流线的疏密程度代表电流密度的大小。电流的连续性方程

表达式：

意义：（1）流出闭合面S的电流I等于S面内部总电荷量的变化率的负值。——电荷守恒定律的数学表述。（2）电流场是有源场。电流线是发出或终止于电荷密度发生变化的地方。电流的连续性方程稳恒电流——空间电流分布不随时间变化的电流。

稳恒电流的基本性质——（1）

空间各点的电荷分布不随时间变化。（2）

电流线闭合。（3）

空间各处电场不随时间变化，电场能量也不随时间变化。(4）稳恒电流电场必须由电源的非静电力维持，电源向电场提供能量，电场对电流作功消耗能量，电场在能量转换过程中起了媒介作用。电流的连续性方程

稳恒电场与静电场的比较——（1）场源：静电场由静止电荷所激发，稳恒电场由空间分布不随时间变化的电荷激发；（2）场的基本性质：稳恒电流电场仍为有源无旋场，遵守静电场的两个基本方程（3）区别：对于稳恒电流电场，导体不再一定是等势体。（金属导体内部的场强与电流密度有关），而在静电平衡时，导体内部电场为零，导体为等势体。思考题：若导体内部有电流，即导体内部电流密度不为零，问导体内部电荷体密度是否一定也不等于零？在电中性的导体中能否有电流？通过某一截面的电流强度为零，截面上的电流密度是否必为零？反之如何？在电解液中，正负离子均可运动导电，此时的电流密度将如何描写？设通过铜导线的电流密度j=2.4A/mm2,铜的自由电子密度为8.4×1028/m3,电子的定向运动速度u有多大？若电源到用电器的距离为1km，则一个给定的电子从电源运动到用电器要经历多少时间？计算题：有一真空二极管，其内阴极和阳极为一对平行导体板，面积都是2.0cm2,它们之间的电流I完全是由电子从阴极飞向阳极构成的。若电流I=50mA，电子到达阳极时的速率是1.2×107m·s-1,电子电荷e=-1.6×10-19C,求阳极表面外每立方毫米内的电子数n.(1.3×105个）在范德格拉夫静电起电机里，一宽为30cm的橡皮带以20m/s的速度运动，在下边的滚轴处给橡皮带表面输电，橡皮带上的面电荷密度可以产生40V/cm的静电场，问运动的橡皮带所产生的相应电流是多少mA?（4.2×104mA)§3.2欧姆定律欧姆定律电阻率欧姆定律的微分形式电流的功率焦耳定律思考题和计算题欧姆定律内容：在温度不变时，一段金属导线中的电流I与导线两端的电势差成正比。（1826年）导体电阻的定义：导体上任意两个等势面间的电压与通过导体的电流之比是一个与电流和电压都无关的量，反映了导体本身的性质。导体电阻与导体开头及电流流动方式有关。即使同一导体，当电流流动的方式不同时，对应的电阻也不同。

欧姆定律广延导体的电阻（1）

对大块导体，对确定的两接线柱，导体的电阻定义为两接线柱间的电压与流过接线柱的电流之比。（2）

对于几何形状简单的广延导体，（3）

已知场强分布时，可以利用静电学的结果，求电阻.两接线柱间的电压选择包围接线柱的等势面，通过该等势面的电流则导体的电阻为欧姆定律应用范围：（1）

对于金属导体，欧姆定律是十分准确的。只当电流大到每cm2几百万A时，，才发现有1%的差异。（2）

遵守欧姆定律的电学元件称为线性元件，其电阻称为线性电阻或欧姆电阻。非线性元件不服从欧姆定律，伏安特性曲线不是直线。对于非线性元件，欧姆定律虽不适用，但仍可以定义其电阻。电阻率导体电阻的大小与导体的材料及几何形状有关。电阻率：与导体的形状与大小无关，只与导体材料及温度有关。电导率：电阻率的倒数称为电导率室温下，金属电阻率在10-8—10-6Ωm之间；绝缘体电阻率为108—1018Ωm，比金属大1014倍以上。半导体材料的电阻率约在10-5—108Ωm范围。电阻率是选用金属材料的重要物理量。电阻率电阻率与温度的关系：（1）

多数纯金属的电阻率随温度的升高而增加。金属导体的电阻随温度变化的性质可以用来制作电阻温度计。（2）

绝缘体和半导体的电阻率随温度升高而急剧减小。（3）

在极低温度下，有些导体的电阻率突然减小到零——超导现象。（1911年，荷兰物理学家昂纳斯发现。1987年，超导转变温度已达到90K，超过液氮温度）欧姆定律的微分形式微分形式：意义：（1）

反映导体中某点的电流密度与该点的电场强度之间的关系，表示了物质的性质。（2）

电流密度与该点的电场强度成正比表明，电子的定向运动速率与该点的电场强度成正比，电子在金属中作定向运动时除受到电场的作用力外，还受到来自金属内部的某种阻力的作用，而且这种阻力与电子的定向速度成正比。对于线性介质，γ是与电场强度及电流密度无关的常数。欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦成立。电流的功率焦耳定律电流的功率：（1）

单位时间内电场做功的功率即电流的功率为P=IU（2）

意义：任一用电器，若其两端电压为U，进入用电器的电流为I，则用电器吸收的功率与用电器的性质无关。至于吸收的能量转变为何种形式的其他能量，则取决于用电器的性质。电路是电动机——机械能、电路是电池或电解槽——化学能纯电阻电路——热能电流的功率焦耳定律焦耳定律：

（1）

对于电阻为R的欧姆介质，（2）

意义：电流通过欧姆介质时，电能将以发热的形式释放出来。通过一欧姆介质的电流为I时，单位时间内电阻上发出的焦耳热。（3）

用电器吸收的功率仅在纯电阻电路中等于焦耳热功率。电流的功率焦耳定律焦耳定律的微分形式（1）

电功率密度：单位时间内导体内的电功率（2）

焦耳定律的微分形式：考察点仅存在欧姆介质时，（热功率密度）。意义：电流通过欧姆介质时，单位体积的导体中产生的焦耳热。

例题例题1：金属球埋入地下为接地电极，由一联线将电流导入，求接地电阻。例题2：同轴圆柱形导体，中间充以电阻率一定的介质，求沿径向的电阻。思考题：一长方体铜块，其长、宽、高均已知，此铜块的电阻是唯一确定的吗？举例说明P=IU与P=I2R两式意义的异同。断丝后的白炽灯泡，若设法将灯丝重新搭上后，通常灯泡总要比原来亮，但寿命一般不长。试解释此现象。把一恒定不变的电势差加于一导线两端，使导线中产生一稳恒电流。若突然改变导线的形状（如折屈导线），在此瞬间会发生什么现象？是什么因素保持电流稳恒？计算题：大地可看成是均匀的导电介质，设其电阻率为，用一半径为a的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地下，电极本身的电阻可以忽略，求此电极的接地电阻。两个同心的导体薄球壳，半径分别为a和b，其间充满电阻率为的均匀介质，（1）求两球壳之间的电阻；（2）若两球壳之间的电压是U，求电流密度。

电子直线加速器产生电子脉冲，脉冲电流为0.50A,脉冲宽度为0.10微秒，（1）每一脉冲有多少电子被加速？（2）机器工作于500脉冲/s，其平均电流是多少？（3）如电子被加速到能量为50MeV，问加速器输出的平均功率是多大？§3.3固体导电机理金属导电的微观解释电子气的热运动欧姆定律的微观解释焦耳定律的微观解释金属导电的微观解释金属的微观模型位于晶格点阵上带正电的原子实和脱离了原子的自由电子的集合。各种金属的自由电子数密度的数量级为1022cm-3.电流的形成自由电子无场作用时，作无规则的热运动；存在外场时，除固有的无规则运动外，在电场力的作用下作定向运动形成电流。电子气的热运动金属的经典电子论

（1）金属导电的载流子是自由电子；

（2）假设自由电子像理想气体一样，它的运动遵守牛顿运动定律，并且忽略自由电子间的相互作用，而自由电子与正离子间的相互作用，则仅在碰撞时才考虑；（3）电子气遵守理想气体的规律。

电子气的热运动均方根速率：（1）

根据能量按自由度均分定理，

每个电子具有的平均热运动能量为（2）均方根速率（3）

室温下，自由电子热运动的均方根速率约为110km/s.自由电子热运动的平均速率与这一数值相近（），但由于运动的无规则，平均速度接近于零。因此无外加电场时，金属中无定向电子流。欧姆定律的微观解释

自由电子在电场力作用下两次碰撞之间经历的位移对大量电子求平均位移载流子的定向速度（τ为平均自由时间，〈t2>=2τ2〉）导体中的电流密度电导率为欧姆定律的微观解释成立条件：对随时间变化的电流，欧姆定成立的条件为——

场强变化的周期T应远大于τ。

即：T>>τ。τ的值约为10-14s，故要求场强的周期T>>10-14s，或频率v<<1014Hz。即直到频率超过微波段v<<1014Hz时，欧姆定律仍然成立。而频率再高（红外或红外以上），定律不再成立。焦耳定律的微观解释电流通过导体时放出焦耳热，是由于金属中的电子在外电场作用下获得额外的动能，而在与离子碰撞时，这动能转化为无规则运动动能引起的。一次碰撞过程中，传递给离子的能量为碰撞一次的过程中转化为热运动的能量为单位时间内平均碰撞次数为单位时间内，单位体积中电子传递给离子的总能量为

§3.4电动势和全电路欧姆定律电源的作用电动势稳恒电场在稳恒电路中的作用接触电势差温差电动势思考题和计算题电源的作用维持稳恒电流必须存在非静电力的作用。电源的作用就是提供非静电的外加力，迫使正电荷从低电势处逆着静电力经过内电路移到高电势处。非静电场的场强：作用于单位正电荷的非静电力不同的电源中非静电力的起源不同——（1）

化学电源——化学力；（2）

范德格拉夫起电机——机械力；（3）

一般发电机——电磁感应。电动势存在非静电场时，欧姆定律的微分形式修正为电源电动势的定义：Ɛ

意义：绕闭合路径一周，非静电力对单位正电荷所作的功。标量，在数值上等于电源开路时的路端电压。全电路欧姆定律

Ɛ=I(R+r)电动势能量关系：电源电动势在数值上等于放电电流为1A时，非静电力所作的功率。（1）

放电时，电源对外电路提供的功率为

（2）

充电时，外电路对电源提供的功率为稳恒电场在稳恒电路中的作用在稳恒电路中，稳恒电场和非静电场共同作用维持闭合电流。能量转换过程中，稳恒电场起着能量中转作用——自外界不断吸收能量同时又不断向外界放出能量——将电源内的非静电能转送到外电路上。接触电势差温差电动势帕耳帖电动势：现象：两种紧密接触的金属，自由电子的数密度不同，在接触处存在着源于自由电子数密度梯度的力，驱使电子由密度大的金属扩散迁移到密度小的金属。

电动势：（温度的函数）

帕耳帖电动势的数量级：对于任何实际的金属，电子的数密度相差很小，因而珀耳帖电动势通常只有百分之几伏。（在单一温度下仅依靠珀耳帖电动势不能在闭合回路中建立稳恒电流）接触电势差温差电动势汤姆孙电动势

现象：同一块金属中有温度梯度存在时，金属中就同时有电势梯度存在，所相当的电动势称为汤姆孙电动势。此时如果有电流通过，会产生附加的吸热或放热效应（汤姆孙效应）。

电动势汤姆孙电动势的数量级：

σA为金属的汤姆孙系数，数值很小，如室温下铋的σA数量级为10-5V/0C。

（用同一种金属，只依靠汤姆孙电动势，不能在闭合回路中产生稳恒电流。）接触电势差温差电动势温差电动势：现象：构成回路的两种不同金属A、B的连接点处于不同温度时，回路中存在不为零的电动势——珀耳帖电动势和汤姆孙电动势之和。

电动势

应用：温差电偶温度计。热容量小，测温范围大、灵敏度与准确度高。接触电势差温差电动势脱出功与外接触电势差：

脱出功：自由电子脱离金属时克服阻力所作的功。多数金属的脱出功在1—6eV之间。常温下，只有少数动能较大的电子能够脱离金属；随着温度的升高，动能大于脱出功因而能够飞离金属的电子逐渐增多。温度达到10000C以上时，热电子发射。

外接触电势差：在相互紧邻的金属A、B外侧靠近接触面处的两点间存在着电势差（数值约为10-1V至1V）。思考题：在全电路中，电流的方向是否总是沿着电势降落的方向？在任何情况下，电流密度与电场强度是否总是同方向？一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路端电压是否可以超过电源电动势？试证明：在A、B两种金属构成的温差电偶回路中串接金属C，只要C两端温度相同，就不会影响回路的温差电动势。计算题：蓄电池在充电时通过的电流为3A，此时其端电压为4.25V。当这蓄电池放电时，流出的电流为4A，此时端电压为3.9V，求此蓄电池的电动势和内电阻。有电动势和内电阻相同的两个电池组，既可以串联也可以并联，用来在电阻器R中产生电流，试导出两种连接法R中电流的表达式，问（1）如果R>r，怎样连接产生的电流较大？（2）如果R<r，又如何？由一对铜—康铜线所组成的热电偶，其温差电动势为0.04mV/0C,在测量温度差时，热电偶与一电流计G相联。试从下列数据求热电偶两接头处的温度差：热电偶及导线电阻R1=40，电流计的电阻R2=2000，电流计中的电流I=7.8×10-8A..§3.5电路定理含源电路的欧姆定律基尔霍夫定律基尔霍夫定律的应用叠加原理电压源和戴维宁定理电流源和诺尔顿定理含源电路的欧姆定律表达式意义：电路上任意两点a、b之间的电压等于从a到b的路径上，各电阻上电势降落的代数和减去各电源的电动势所产生的电势升高的代数和。符号法则：沿观察方向，“降正升负”。基尔霍夫定律有关电路的基本概念：（1）

支路：两点之间由多个元件串联而成的组合。一个支路中的各个元件中通有相同的电流。（2）

节点（分支点）：几个支路的联接点。（3）

回路：电路中任意一个闭合路径。电路至少要有一个回路。基尔霍夫定律基尔霍夫第一方程（节点电流方程）（1）内容：对每一分支点，流入的电流等于流出的电流。（2）表达式：（3）实质：稳恒电流条件下的电荷守恒定律。

基尔霍夫第二方程（回路电压方程）

（1）内容：沿任意闭合回路绕行一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和。（2）表达式：（3）基础：稳恒电流场的环路定理。沿回路环绕一周回到出发点，电势的数值不变。基尔霍夫定律的应用计算电路问题，归根结底是要计算在电流的作用下，电路中有多大的电流，各部分又有多大的电压。（1）

在各条支路上，标出各支路中电流的方向；（2）

n个分支点，列出n-1个节点电流方程；（3）

选定独立的闭合回路，列出回路电压方程；（4）

求解方程，得到未知量。叠加原理内容