高中数学习题课数列求和课件新人教版A

习题课

数列求和1.巩固等差数列与等比数列的求和公式.2.掌握数列求和的几种基本方法,并能应用这些方法解决一些简单的求和问题.1.若在等差数列{an}中,首项为a1,公差为d,则其前n项和为

【做一做1】

在等差数列{an}中,a1=6,a4=0,则其前n项和Sn=

.

答案:7n-n22.在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,则当q=1时,其前n项和为Sn=na1,当q≠1时,其前n项和为【做一做2】

在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则其前n项和Sn=

.

数列求和的常用方法剖析(1)分组求和与并项求和如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差数列或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解.一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.(2)裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.(3)错位相减法若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}.当求该数列的前n项和时,常常将{anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这种数列求和的方法称为错位相减法.题型一题型二题型三分组求和与并项求和

(2)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).题型一题型二题型三(2)当n为奇数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]故Sn=(-1)nn(n∈N*).反思某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.有些数列相邻两项的和是同一个常数或构成等差数列,这些数列的求和通常用并项法,但要注意对n分奇偶数讨论.题型一题型二题型三【变式训练1】

(1)数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2020等于(

).A.1010 B.-1010 C.2020 D.-2020解析:S2

020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2

019+2

020)=1

010.答案:A题型一题型二题型三(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….①求其通项公式an;②求这个数列的前n项和Sn.故这个数列的通项公式为an=2n-1.②Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)题型一题型二题型三裂项相消法求和【例2】

已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵a3=7,a5+a7=26,∴a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.∴an=2n+1,Sn=n(n+2).题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.若数列{an}的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.2.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.3.常见的裂项相消技巧有:题型一题型二题型三【变式训练2】

在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=5-log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,设又an>0,∴a3+a5=5.又a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4.∵q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1.题型一题型二题型三(2)∵bn=5-log2an=5-(5-n)=n,∴bn+1-bn=1.∴数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列.题型一题型二题型三错位相减法求和【例3】

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;分析(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d,∵2a1,a2,a3+1成等比数列,题型一题型二题型三解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.题型一题型二题型三反思一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,就可采用错位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.题型一题型二题型三【变式训练3】

已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.解(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以数列{cn}是首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列{an}前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2