2025版高中数学课时作业14平面与平面垂直的判定新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业14平面与平面垂直的判定基础巩固1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点动身，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0 B.1 C．2 D.3解析：依据二面角定义知①②③都不正确．选A.答案：A2．如图1所示，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()图1A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：∵AB＝CB，AD＝CD，E为AC中点．∴AC⊥DE，AC⊥BE，又BE∩DE＝E，∴AC⊥平面EDB.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.答案：C3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β解析：由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.选D.答案：D4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：如图2所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，图2∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).答案：C5．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中错误的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：由DF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A结论正确；作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B结论正确；由DF⊥平面PAE，可得平面PAE⊥平面ABC，故D结论正确．易知C结论错误．答案：C6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)解析：当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n⊂α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β.∴当n⊥β时m⊥n，即②③④⇒①.答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)实力提升1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M、N、P分别是所在棱的中点，则下列图形中能推出面MNP⊥面BB1D1D的有()图3A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：把过M、N、P的截面补充完整，结合面面垂直判定定理即可推断①②③正确．答案：C2．(2024年吉林一中)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是()A．直角三角形 B.等腰三角形C．等边三角形 D.等腰直角三角形解析：过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.答案：A3．已知α­l­β是直二面角，A∈α，B∈β，A，B∉l，设直线AB与α、β所成的角分别为θ1，θ2，则()A．θ1＋θ2＝90° B.θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D.θ1＋θ2<90°解析：如图4，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.图4答案：C4．如图5，在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图5A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：平面PAB与平面ABC交于AB，由于GE，EF未必与棱AB垂直，故不肯定是二面角的平面角．答案：D5．如图6，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________．(填序号)图6解析：由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC内，所以MO∥平面PAC，所以②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确．综上所述，正确的结论是②④.答案：②④6．三棱锥P­ABC的两个侧面△PAB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝eq\r(2)a.则平面ABC与平面PAC的位置关系是________．图7解析：如图7，取AC的中点O，连接PO、OB，由题意知PO⊥AC，PO＝eq\f(\r(2),2)a，PB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC.答案：垂直7．如图8所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).图8(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解：(1)证明：如图8所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解：由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，∠PBA＝60°，故二面角A­BE­P的大小是60°.8．如图9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．图9(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．解：(1)证明：连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，图10∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NE∩NF＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解：在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.由(1)得MN⊥平面NEF，又EF⊂平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，又MG⊂平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN为