2025版高中数学课时作业15直线与平面垂直平面与平面垂直的性质新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业15直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质基础巩固1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D.不确定解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.答案：C2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：依据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.答案：B3．如图1，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不肯定成立的是()图1A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立；又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立；若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不肯定成立，故选D.答案：D4．如图2，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则eq\f(PE,EC)＝________．图2解析：在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以eq\f(PE,EC)＝1.答案：15．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．解析：由α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l知：在①中，由面面垂直的判定定理得：过P垂直于l的平面垂直于β，故①正确；在②中，过P垂直于l的直线有可能垂直于α，但不垂直于β，故②错误；在③中，由线面平行的判定定理得过P垂直于α的直线平行于β，故③正确；在④中，由面面垂直的性质定理得过P垂直于β的直线在α内，故④正确．答案：①③④实力提升1．如图3，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()图3A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D.△ABC的内部解析：因为BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，所以过点C1再作C1H⊥平面ABC，则H∈AB，即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．答案：A2．如图4，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()图4A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.答案：B图53．如图5所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．答案：D4．如图6，四面体P­ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．图6解析：取AB的中点E，连接PE，EC(图略)．∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CE＝5.∵PA＝PB＝13，E是AB的中点，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE⊂平面ABC，∴PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝13.答案：135．(2024年湖北武汉模拟)如图7，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′.图7(1)求证：平面A′DE⊥平面A′EF；(2)求三棱锥A′­DEF的体积．解：(1)证明：折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF.折叠后，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又∵A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF.∵A′D⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面A′EF.(2)∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BE＝BF＝1，EF＝eq\r(2).折叠后，A′E＝A′F＝1，∴A′E2＋A′F2＝EF2，∴A′E⊥A′F，∴S△A′EF＝eq\f(1,2)A′E×A′F＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).由(1)知，A′D⊥平面A′EF，∴VA′­DEF＝VD­A′EF＝eq\f(1,3)S△A′EF·A′D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).图86．在斜三棱柱A1B1C1­ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.若D是BC的中点．(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.证明：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥CC1.(2)如图9，取BC1的中点E，连接ME，DE.因为D为BC的中点，图9所以DE∥CC1，DE＝eq\f(1,2)CC1.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，且M为AA1的中点，所以AM∥CC1且AM＝eq\f(1,2)CC1.所以DE∥AM，DE＝AM，所以四边形ADEM是平行四边形，所以EM∥AD.因为AD⊥平面BB1C1C，所以EM⊥平面BB1C1C.又EM⊂截面MBC1，所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.拓展要求如图10①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图10②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.图10(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36eq\r(2)，求a的值．解：(1)证明：在图10①中，因为AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在图10②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又易得CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高．