2025版高考数学一轮复习核心考点精准研析5.3平面向量的数量积及平面向量的应用文含解析北师大版

PAGE9-平面对量的数量积及平面对量的应用核心考点·精准研析考点一平面对量的数量积的基本概念及运算

1.(2024·全国卷II)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.2.(2024·皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=.

【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos45°=1+2.答案:1+2【一题多解】坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=22b=(1,0),则a+2b=22+2,22,(a+2b)·a=22+2答案:1+23.(2024·合肥模拟)已知平面对量a,b满意|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,则a在b方向上的射影等于.

【解析】因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,所以a·b=-1,所以a在b方向上的射影为a·b|答案:-1平面对量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.考点二平面对量的数量积在几何中的应用

【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.

2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的 ()世纪金榜导学号A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)【解题导思】序号联想解题1看到“·=-4”,想到和分别用,来表示2看到三个题设条件,想到△ABC的“三心”【解析】1.·=3×2×cos60°=3,=13+23,则·=·(λ-)=λ3×3+2λ3×4-13×9-23答案:32.选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.1.平面对量中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)留意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满意:(1)++=0,则点O为三角形的重心.(2)||=||=||,则点O为三角形的外心.(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.(4)||·+||·+||·=0,则点O为三角形的内心.1.(2024·济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是 ()A.矩形 B.正方形C.菱形 D.梯形【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线相互垂直,所以四边形ABCD是菱形.2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满意=13[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹肯定经过 ()A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB边的中点【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,因为=13[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],所以=13[2(1-λ)+(1+2λ)]=2(1-λ)3+1+2λ3,又2(1-λ)3+1+2λ3考点三平面对量数量积的综合应用

命题精解读1.考什么:(1)平面对量的模,平面对量的夹角,平行、垂直问题;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.2.怎么考:与平面对量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.学霸好方法1.在求向量的模时,肯定要留意公式|a|=a·a的应用,即将向量的长度(或模)2.求两个向量的夹角,经常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.3.解决关于平面对量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.平面对量的模【典例】1.(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ()A.2 B.2 C.52 D.50【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=122.2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为. 世纪金榜导学号

【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=25+(3b-4y)2(0≤y≤b),当y=34b时答案:5求向量模的最值(范围)有哪些方法?提示:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.平面对量的夹角【典例】1.(2024·全国卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=.

【解析】cos<a,b>=2×-8+2×答案:-22.(2024·运城模拟)已知平面对量a,b满意a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正弦值为.

【解析】因为a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos<a,b>=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-12又<a,b>∈[0,π],所以sin<a,b>=1-cos答案:3对于两个不共线的向量,数量积的符号与夹角有何关系?提示:当数量积大于0时,夹角为锐角;当数量积等于0时,夹角为直角;当数量积小于0时,夹角为钝角.平行、垂直问题【典例】1.(2024·天津模拟)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= ()A.-1 B.-2 C.-3 【解析】选C.因为a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因为c=(x,3),(2a+b)∥c,所以-1×3-x=0,所以x=-3.2.(2024·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ()世纪金榜导学号A.π6 B.π3 C.2π【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=a·ba·b=|b|22|b|2=两个非零向量垂直的充要条件有哪些?提示:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔|a-b|=|a+b|.留意:数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.1.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.

【解析】a+2b2=(a+2=a2+2·a·2b·cos=22+2×2×2×12+22所以a+2b=12=2答案:232.若非零向量a,b满意|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b的夹角余弦值为.

【解析】因为|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2,所以a·b=-|b|2,令夹角为θ,所以cosθ=a·b|a||答案:-13.(2024·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,所以m=8.答案:81.(2024·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=.

【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为∠BAD=30°,AB=23,所以AF=2,即=25.因为==-=-25,所以·=(-)·=75·--25=75×23×5×32-12-10=-1.答案:-1【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(23,0),D53因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因为AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直线BE的斜率为33,其方程为y=33(x-23),直线AE的斜率为-33,其方程为由y=33(所以E(3,-1).所以·=32,52·(答案:-12.(2024·武汉模拟)已知a,b,e是平