2025年上外版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年上外版高一数学上册月考试卷376考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知△ABC满足则角C的大小为（）A.B.C.D.2、已知角的终边上有一点则的值是（）A.B.C.D.3、已知点A的坐标为（41），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A.B.C.D.4、频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A.组距B.频率C.组数D.频数5、函数f(x)满足4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)且则下列等式不成立的是（）A.B.C.D.6、如图，ABCD-A′B′C′D′为正方体，任作平面α与对角线AC′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S为定值，l不为定值B.S不为定值，l为定值C.S与l均为定值D.S与l均不为定值评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、在△ABC中，已知a=8cm，B=60°，A=45°，则b=____．8、【题文】长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则下列结论正确的是____（所有正确的序号都写上）。

（1）（2）（3）（4）9、已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若与垂直，则实数k等于____．10、设正实数a，b满足a+2b=2．则ab的最大值为____：a2+b2的最小值为____．11、对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，，in）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)12、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．13、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．14、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．15、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．16、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共3题，共9分)21、已知

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的单调减区间；

（3）若函数g（x）=f（x）-m在区间上没有零点；求m的取值范围．

22、设集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈R|2x2-ax+2=0}；若A∩B=A，求实数a的取值集合．

23、（本小题满分12分）设函数y＝f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)24、已知cos（+x）=x∈（﹣﹣），求的值．评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)25、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【分析】根据题意，由于余弦定理可知，那么可知cosC=故角C的大小为选A.

【点评】本试题考查了余弦定理的运用，属于基础题。2、D【分析】【解答】由三角函数的定义可知故选D.3、D【分析】【解答】解：∵点A的坐标为（41）；

∴设∠xOA=θ，则sinθ==cosθ==

将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB；

则OB的倾斜角为θ+则|OB|=|OA|=

则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=

故选：D．

【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．4、B【分析】【解答】解：小长方形的长为组距，高为所以小长方形的面积为：组距×=频率。

故选B

【分析】由频率分布直方图的做法，可得正确答案5、B【分析】【解答】因为函数满足所以，令

令所以选项A：正确；

所以选项B错误。

所以选项C正确；

所以选项D正确。

【分析】解决抽象函数的只要方法是赋值法。正确、快速赋值是解决此题的关键。本题尤其要注意f（x)不是常函数，应该把f（0)=0舍去。6、B【分析】解：将正方体切去两个正三棱锥A-A′BD与C′-D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展平在一张平面上，得到一个▱A′B′B1A1，如图

而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段（如图中E′E1），显然E′E1=A′A1；故l为定值．

当E′位于A′B′中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与故S不为定值．

故选B．

将正方体切去两个正三棱锥A-A′BD与C′-D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展平在一张平面上，得到一个▱A′B′B1A1；考查E′的位置，确定S，l．

本题考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于难题．【解析】【答案】B二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

∵a=8cm；B=60°，A=45°；

∴由正弦定理=得：

b===4．

故答案为：4

【解析】【答案】由A和B的度数，求出sinA和sinB的值，再由a的长，利用正弦定理即可求出b的长．

8、略

【分析】【解析】本题属开放性试题，这类题型仍是高考的热点问题，要熟练把握。【解析】【答案】（1）（2）（4）9、-1【分析】【解答】解：∵向量若与垂直；

∴（）•=0；即：（k﹣4，k+6）•（1，1）=0；

∴k﹣4+k+6=0；∴k=﹣1．

【分析】先求出与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数k的值．10、|【分析】【解答】解：∵正实数a，b满足a+2b=2，∴2=a+2b≥2

∴≤1，∴ab≤

当且即当a=2b时取等号；

由正实数a，b满足a+2b=2可得a=2﹣2b；

再由a=2﹣2b＞0可得b＜1，即0＜b＜1；

∴a2+b2=（2﹣2b）2+b2=5b2﹣8b+4；

由二次函数可知当b==时，a2+b2取最小值

故答案为：

【分析】由题意可得2=a+2b≥2变形可得ab的最大值；又可得a=2﹣2b且0＜b＜1，代入a2+b2由二次函数区间的最值可得．11、略

【分析】解：根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2；

从6个数字中任选2个共有15种组合；

∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2；

∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是所有组合数减去2；

共有15-2=13种结果；

故答案为：13

根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2；根据从6个数字中选出2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数．

本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目．【解析】13三、证明题(共9题，共18分)12、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．13、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．14、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．15、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．16、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共3题，共9分)21、略

【分析】

（1）f（x）=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1；

∵ω=2；∴T=π；

（2）由+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：+kπ≤x≤+kπ；k∈Z；

∴f（x）的单调减区间为[kπ+kπ+]；k∈Z；

（3）作出函数y=f（x）在[-]上的图象如下：

函数g（x）无零点；即方程f（x）-m=0无解；

亦即：函数y=f（x）与y=m在x∈[-]上无交点从图象可看出f（x）在[-]上的值域为[0，+1]；

则m＞+1或m＜0．

【解析】【答案】（1）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简；整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值即可求出函数的最小正周期；

（2）根据正弦函数的单调减区间为[+2kπ，+2kπ]；k∈Z，求出x的范围即可；

（3）作出函数y=f（x）在[-]上的图象，函数g（x）无零点，即方程f（x）-m=0无解，亦即：函数y=f（x）与y=m在x∈[-]上无交点从图象可看出f（x）在[-]上的值域为[0，+1]；利用图象即可求出m的范围．

22、略

【分析】

A={x∈R|x2-3x+2=0}={1；2}；

由A∩B=A；则A⊆B；

所以1，2是方程2x2-ax+2=0的两个根；

根据根与系数关系有1+2=

所以a=6．

所以；实数a的取值集合为{6}．

【解析】【答案】化简集合A；若A∩B=A，说明A是B的子集，B是一元二次方程的根构成的集合，集合A中含有两个元素，所以A=B．

23、略

【分析】本试题主要是考查了函数的单调性的运用。利用定义法来证明函数的单调性，然后得到参数的取值范围。【解析】

设任意的x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，∴f(x1)－f(x2)＜0.∴＜0，∵x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，∴2a－1＞0，∴a＞【解析】【答案】a＞五、计算题(共1题，共9分)24、解：∵x∈（﹣﹣），cos（+x）=可得：cosx﹣sinx=①，