2025年沪科新版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、下列各组向量中；可以作为基底的是（）

A.=（0，0），=（-1；2）

B.=（2，-3），=（-2；3）

C.=（3，2），=（6；4）

D.=（2，-1），=（-1；2）

2、已知向量不共线，且则点A；B、C三点共线应满足（）

A.λ+μ=2

B.λ-μ=1

C.λμ=-1

D.λμ=1

3、如图是根据某赛季甲；乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）

A.31；27

B.36；26

C.31；26

D.36；27

4、在等差数列中，=24，则数列的前13项和等于A.13B.26C.52D.1565、【题文】已知全集则图中阴影部分表示的集合是（）

A.B.C.D.6、已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣4，6]，在函数f（x）的定义域内任取一点x0，使得f（x0）≥0的概率是（）A.B.C.D.7、函数f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递减区间是（）A.B.C.D.8、在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A.30辆B.300辆C.170辆D.1700辆评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、若＝2e1＋e2，＝e1－3e2，＝5e1＋λe2，且B、C、D三点共线，则实数λ＝__________．10、已知数列{an}满足3an+1+an=4（n≥1）且a1=9，前n项和为Sn，则满足的最小整数n是______．11、已知圆锥的母线长为底面半径为则它的高为_____.12、已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．13、lg5+lg20

的值是______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．17、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共1题，共4分)21、已知数列{an}

前n

项和Sn=32n2鈭�1232nn隆脢N*

(1)

求数列{an}

的通项公式an

(2)

求Tn=|a1|+|a2|++|an|

的值．评卷人得分五、计算题(共1题，共5分)22、如图，∠1=∠B，AD•AC=5AE，DE=2，那么BC•AD=____．评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)23、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．24、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．25、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】

对于A，由于=（0，0）与是共线向量；故不可以作为基底；

对于B，因为=（2，-3），=（-2，3），可得=-

所以与是共线向量；故不可以作为基底；

对于C，因为=（3，2），=（6，4），可得=

所以与是共线向量；故不可以作为基底；

对于D，由于=（2，-1），=（-1；2）．

它们是不共线的向量，因此可以作为平面向量的一组基底。

故选：D

【解析】【答案】对于A；B、C中的两个向量加以判断；可得它们都是共线的向量，不能作为基底，而D中的两个向量不共线，可以作为平面向量的一组基底．由此得到本题答案．

2、D【分析】

由于向量不共线，故可以作为平面的一个基底．由题意可得，与共线；

∵∴λμ=1；

故选D．

【解析】【答案】由题意可得与共线；故它们的坐标对应成比列，从而得出结论．

3、D【分析】

甲；乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如茎叶图所示；

要求甲和乙两个人的得分的中位数；

首先观察茎叶图中所给的数据从上到下是按照递增的顺序排列的；

∴看出甲；乙两名运动员得分的中位数分别是36；27

故选D．

【解析】【答案】要求甲和乙两个人的得分的中位数；首先观察茎叶图中所给的数据从上到下是按照递增的顺序排列的，两个人分别有12和13个数据，所以一个是找出最中间一个，另一个是求出最中间两个数字的平均数，得到甲；乙两名运动员得分的中位数分别是36，27．

4、B【分析】【解析】

因为等差数列中，则数列的前13项和等于13选B【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】

试题分析：解得由图中阴影部分可知，表示的是N中不包括M集合的元素即是

考点：集合的运算.【解析】【答案】C6、B【分析】【解答】解：因为f（x）＞0，得到x2+x﹣2＞0；∴x＞1或x＜﹣2；

在区间[﹣4，6]上任取一点x0，使得f（x0）＞0的概率。

P=

故选B．

【分析】先求出f（x）＞0的解集，由函数的性质得到f（x）＞0时x的区间，然后根据求概率的计算公式求出f（x0）≥0的概率即可．7、D【分析】解：要使函数有意义，则4+3x-x2＞0，即x2-3x-4＜0解得-1＜x＜4；

设t=4+3x-x2，则函数在（-1，]上单调递增，在[4）上单调递减．

因为函数y=lnt；在定义域上为增函数；

所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[4）．

故选：D

求出函数的定义域；结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．【解析】【答案】D8、D【分析】解：由频率分布直方图得：

在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85；

∴估计2000辆车中；在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．

故选：D．

由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率；由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．

本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．【解析】【答案】D二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】：待定系数法：由已知可得＝－＝(e1－3e2)－(2e1＋e2)＝－e1－4e2，＝－＝(5e1＋λe2)－(e1－3e2)＝4e1＋(λ＋3)e2，由于B、C、D三点共线，所以存在实数m使得＝m即－e1－4e2＝m[4e1＋(λ＋3)e2]．所以消去m得λ＝13．【解析】【答案】1310、略

【分析】解：对3an+1+an=4（n≥1）变形得：

3[an+1-1]=-（an-1）；

an=8×（-）（n-1）+1；

Sn=8{1+（-）+（-）2++（-）（n-1）]+n

=6-6×（-）n+n；

|Sn-n-6|=|-6×（-）n|＜．

故：n=7．

故答案为：7．

对3an+1+an=4（n≥1）变形得3[an+1-1]=-（an-1），an=8×（-）（n-1）+1，由此能求出的最小整数n．

本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．【解析】711、略

【分析】解：∵圆锥的母线长l=10cm；

底面半径r=5cm；

∴圆锥的高h==5cm；

故答案为：5cm

根据已知中圆锥的母线长和底面半径；利用勾股定理，可得圆锥的高．

本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥母线，底面半径与高的关系，是解答的关键．【解析】12、略

【分析】解：设P（x，y），则|PA|=|PB|=

∵|PA|=|PB|，即（x+2）2+y2=3（x-1）2+3y2；

化简得x2+y2-5x-=0；

∴P点轨迹为圆，圆的半径r==．

∴圆的面积为=．

故答案为．

求出P的轨迹方程；得出轨迹图形，得出答案．

本题考查了轨迹方程的求解，圆的方程，属于中档题．【解析】13、略

【分析】解：lg5+lg20=lg100=1

．

故答案为：1

．

直接利用对数的运算性质求解即可．

本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．【解析】1

三、证明题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．17、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共1题，共4分)21、略

【分析】

(1)

利用递推关系即可得出．

(2)

对n

分类讨论；利用等差数列的求和公式即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：(1)

当n=1

时；a1=S1=鈭�60

当n鈮�2

时；an=Sn鈭�Sn鈭�1=3n鈭�63

隆脿an=3n鈭�63(n隆脢N*)(5

分)

(2)|an|=|3n鈭�63|={an,(n鈮�21)鈭�an,(1鈮�n鈮�20)(6

分)

当1鈮�n鈮�20

时，Tn=|a1|+|a2|++|an|=鈭�a1鈭�a2鈭�鈭�an=鈭�Sn=1232n鈭�32n2(8

分)

当n鈮�21

时；Tn=鈭�a1鈭�a2鈭�鈭�a20+a21++an

=Sn鈭�2S20

=32n2鈭�1232n+1260.(10

分)

五、计算题(共1题，共5分)22、略

【分析】【分析】根据∠1=∠B，∠A=∠A判断出△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质，列出比例式：，则，可求得AD•AC=AE•AB，有根据AD•AC=5AE，求出AB=5，再根据△AED∽△ACB，列出比例式=，可求出AD•BC=AB•ED=5×2=10．【解析】【解答】解：∵∠1=∠B；∠A=∠A；

∴△AED∽△ACB；

∴；

即AD•AC=AE•AB；

又∵AD•AC=5AE；

可得AB=5；

又知=；

可得AD•BC=AB•ED=5×2=10．

故答案为10．六、综合题(共3题，共15分)23、略

【分析】【分析】（1）求出根的判别式；然后根据根的判别式大于0即可判断与x轴有两个交点；

（2）利用根与系数的关系求出AB的长度；也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不难求出函数解析式；

（3）根据（2）中的结论，求出圆的半径，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦长，弦CD的长等于半弦的2倍．【解析】【解答】解：（1）证明：∵y=x2-2mx-m2（m≠0）；

∴a=1，b=-2m，c=-m2；

△=b2-4ac=（-2m）2-4×1×（-m2）=4m2+4m2=8m2；

∵m≠0；

∴△=8m2＞0；

∴A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）设AB点的坐标分别为A（x1，0），B（x2；0）；

则x1+x2=-=-=2m，x1•x2==-m2；

∴AB=|x1-x2|===2；

-=-=m；

==-2m2；

∴顶点坐标是（m，-2m2）；

∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上；

∴AB=2（2m2）；

即2=2（2m2）；

解得m2=；

∴m=±；

∴y=x2-2×x-=x2-x-，或y=x2+2×x-=x2+x-；

即抛物线解析式为：y=x2-x-或y=x2+x-；

（3）根据（2）的结论，圆的半径为2m2=2×=1；

弦CD的弦心距为|m|=；

∴CD==；

∴CD=2×=．24、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α