培优专题 十三类函数选填常考压轴题专项训练（等高线对称性与周期双变量恒成立等）（解析版）

培优专题培优专题3十三类函数选填常考压轴题专项训练一、高斯函数（取整函数问题）安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴 5重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴 5广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴 6广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴 7福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴 8二、抽象函数问题湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴 10重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 12三、函数对称性与周期性 13类型一：对称性和周期性的判断福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴 15类型二：利用对称性和周期性求值重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴 15广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 16类型三：利用对称性和周期性求交点个数广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 17江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴 18广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴 19类型四：利用周期性求若干个函数值的和华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴 20广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴 21类型五：两个函数混合型重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴 22广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴 22类型六：对称性的探究问题广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴 23四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴 24广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴 25武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴 25安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 26湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴 27湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴 27五、构造新函数解不等式江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴 29广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴 30江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 30湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴 31重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题 32江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 33广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴 33六、等高线问题安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴 35重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴 36安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 37重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴 38浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴 38武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 40福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴 42湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴 43七、函数新定义问题江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴 44湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 45江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴 46广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 47八、比较大小类型一：结合函数图像比大小浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴 49湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴 49类型二：结合换底公式比大小江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴 50重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴 50广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴 51类型三：利用中间数比大小广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴 52广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题 ...................................52类型四：同构再利用单调性比大小广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴 53九、嵌套函数类型一：自(互)嵌套型f(g(x))或f(f(x))湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴 54广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴 54类型二：二次嵌套型g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末 55广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴 55广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴 56重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴 57十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选）重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 57广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴 58广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 59广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴 60广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴 61广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴 62十一、双变量恒（能）成立问题类型一：双变量能成立问题 64广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴 64江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴 65类型二：双变量恒成立问题 66重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴 67十二、反函数，指对数运算及其函数性质类型一：反函数的应用 68湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴 68江苏省南京市2023-2024高一上期末填空压轴 68类型二：指对数运算及其函数性质 69广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末单选次压轴 69湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末压轴 70广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末填空压轴 70广东省佛山市2023-2024高一上期末填空压轴 71广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末填空次压轴 71江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 72十三、函数零点问题类型一：零点个数探究安徽省部分学校2023-2024高一上期末填空压轴 73广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末填空压轴 74湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 74类型二：由零点个数求参数范围江苏省苏州市2023-2024高一上期末单选次压轴 75福建省厦门市2023-2024高一上期末单选压轴 76湖南省长沙市省示范学校2023-2024高一上期末单选次压轴 77广东省中山市2023-2024高一上期末填空压轴 78类型三：零点相关的运算重庆市第一中学校2023-2024高一上期末单选次压轴 79湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上期末填空压轴 79一、高斯函数（取整函数问题）设[x]表示不超过实数x的最大整数,则称f(x)=[x]为取整函数（又叫高斯函数）,由于取整函数的定义域是连续的,值域却是离散的,因而有其独特的性质和广泛的应用,再加上取整函数的新颖背景及处理取整函数问题时常常要分段讨论,使得与取整函数有关的试题能有效的考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想,因而备受命题者的青睐.由取整函数定义可得取整函数具有如下性质：⑴函数f(x)=[x]的定义域为R,值域Z；⑶当x1⑸f(x)=[x]是周期函数且最小正周期为1；安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴1多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y=[x]为高斯函数．例A．=sin是周期函数B．函数f(x)=x2一x2在区间[k一1,)(k∈N*)上单调递增D．若函数则函数y=[f(x)]的值域是{1,0}【答案】ABD【分析】A：根据三角函数的性质以及新定义验证f(x+4)=f(x)是否成立，由此即可判断；B：根据新定义求出函数f(x)的解析式，由此即可判断；C：根据新定义解不等式即可判断；D：求出函数f(x)的值域，然后根据值域求出函数y=[f(x)]的值域即可判断.所以函数f(x)以4为周期，故A正确；*)时，x2k1，此时f(x)=x2一k+1单调递增，故B正确；所以2≤x<7，不等式的解集为[2，7)，故C错误；>0，所以f(x)∈(,)，当f(x)∈(,0)时，y=[f(x)]=1，当f(x)∈[0,]时，y=[f(x)]=0，即函数y=[f(x)]的值域是{一1,0}，故D正确.重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴2．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，如[1.2]=1，C．f(x+1)=f(x)+1D．函数f(x)的值域为[0,1)【答案】D【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可.f(x)，故C错误；对于D，由C知，f(x)为周期函数，且周期为1，不妨设0≤x≤1，故当0≤x≤1时，有0≤f(x)<1，故函数f(x)的值域为[0,1)，故D正确.广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴3多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：【答案】CD【解析】令x=1.5,y=1.5，可判定A、B不正确；设x=n+r，其中n为x的整数部分，r为小数部分，结合“高斯函数”，可判定C、D正确.设x=n+r，其中n为x的整数部分，r为小数部分，即[x]=n，对于所以D是正确的.故选：CD.广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴4多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：1至x之间的整数中，有个是n的倍数=0共有2个不等的实数根【答案】ABC【分析】设x=a+r1,y=b+r2，其中a,b分别是x，y的整数部分，r1,r2分别是x，y的小数部分，结而一1≤lgx≤2，分类讨论lgx的取值范围，求出对应的解，即可判断D.【详解】A：设x=a+r1,y=b+r2，其中a,b分别是x，y的整数部分，r1,r2分别是x，所以[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1，故A正确；≥na，所以[nx]≥n[x]，故B正确；即lgx=3或lgx=一3（舍去解得x=103；综上，原方程共有3个不同的实根，故D错误.福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴5多选）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.定义在(0,+∞)上的函数满足f，且当x∈=-sinπx，则()A．f(3)=2B．当x∈[8,16)时，f(x)=-16sinC．f(x)在区间2k,2k+k)(k∈N*)上单调递增D．关于x的方程f(x)=x-[x]在区间(0,2048]上恰有23个实根【答案】ACD【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：根据题意结合f(x)=2f(|(),即可求解析式；对于C：先求f(x)的单调区间，进而可得结果；对于D：分x两种情况，结合图象分析方程的根的个数.【详解】对于选项A：f(3)=2f),=2(|(-sinπ,)=2，故A正确；xxxxxx可得f(x)=2f|((),=4f),=8f|((),=-8sin，故B错误；对于选项C：因为当x∈[1,2)时，f(x)=-sinπx，f(x)单调递增，当x∈(|(,2),时，f(x)单调递减，结合，可知f的单调递增区间为2k,3.2k-1(k∈Z)，*时，kk-1=3.2k-1，故f(x)在区间2k,2k+k)(k∈N*)上单调递增，故C正确；对于选项D：当x∈,),(n∈N)，f(x)=-2n+1πx)，且x-[x]=x，2且等号不同时成立，原方程无实根；要证-2nsin只需证令则只需证sin(πx)>x，如图所示，所以方程f(x)=x-[x]在区间上恰有2个实根，所以方程f(x)=x-[x]在区间(0,2048]上恰有2×11+1=23个实根，故D正确.二、抽象函数问题赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般带入-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到f(-x)与f(x)的关系判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.·①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…，判断符号时要变形为：f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2);②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…，判断符号时要变形为：湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴6多选）已知函数f(x)(x∈R)满足当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，则下列说法正确的是()A．函数f(x)在R上单调递增C．函数f(x)为非奇非偶函数D．对任意实数x1,x2满足【答案】ACD【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误；对于B，令x1=1，x2=0可判断正误；对于C，由A，B选项分析可判断正误；对于D，利用做差法及f(x1+x2)=f(x1)f(x2)可判断正误.【详解】对于B，令x1=1，x2=0，得f(1)=f(1)f(0)，由题意知f(1)>1≠0，所以f(0)=1，故B错误；对于A，当x<0时，-x>0，则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，又f(-x)>1，则当x<0时，0<f(x)<1，即对任意x∈R，f(x)>0.取任意x1,x2∈R且x1<x2，则x1-x2<0，得0<f(x1-x2)<1，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f2)1-x2)-1<0即f(x1)<f(x2)，所以y=f(x)是R上的增函数，故A正确；对于C，由y=f(x)是R上的增函数且f(0)=1，可知f(x)为非奇非偶函数，故C正确；+f2,)f(x1)+fx2f2|(1,2故D正确.重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴7多选）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且f(3)=，则下列说法正确的是()A．若对任意x，y∈R，总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，则f(x)是奇函数B．若对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是偶函数C．若对任意x，y∈R；总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，则f(|(-),=D．若对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(|(-),=-【答案】ACD【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断.【详解】对于A，对任意x，y∈R，总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，令x=y=0得f(0)=0；令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0；令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1)，所以f(-1)=0；令y=-1得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0得f(0)=0；令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函数，故B错误；对于C，对任意x，y∈R，总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，由A选项分析f(-1)=0，令x=-,y=3得f(-1)=3f(|(-),-f(3)=0，又因为f(3)=，所以f(|(-),=，故C正确；对于D，对任意x，y∈R，总有f(x+y)=令x=y=1得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)，f(x)+f(y)，由B选项分析f(0)=0，福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴8多选）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，满足对任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x).f(y)-f(x)-f(y)+2，且x>1时，f(x)>2．则下列说法正确的是()C．f(x)在(0,1)是减函数D．存在实数k使得函数y=f(x)+k在(0,1)是减函数【答案】ABD【分析】对A选项，利用赋值法，令x=y=1，求出f(1)，再令x=1，y=2进行检验，即可判断A；对B选项，当x∈(0,1)时，则>1，故f),>2，令y=的范围，即可判断B；对C选项，利用函数单调性的定义结合已知条件可得f(x1)<f(x2)，从而得出函数的单调性，即可判断C；对D选项，因为函数f(x)在(0,1)上为增函数，若y=f(x)+k在(0,1)上递减，则x∈(0,1)时，y=f(x)+k=-f(x)-k，则f(x)+k<0，由此可求得k≤-2，即可判断D.【详解】令x=y=1，则f(1)=f(1).f(1)-f(1)-f(1)+2，即f2(1)-3f(1)+2=0，解得f(1)=1或f(1)=2，当f(1)=1时，令x=1，y=2，则f(2)=f(1).f(2)-f(1)-f(2)+2，解得f(2)=1，与x>1时，f(x)>2矛盾，所以f(1)=2，故A正确；当时，则>1，故f令整理得=0，则fxxx(x1,L(x1,(x1,」f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(|x1.x2)=f(x1)-|「f(x1).f|(x2)-(x1,L(x1,(x1,」(x1,(x1,L(x1,」L(x1,」(x1,(x1,L(x1,」L(x1,」x1(x1,，x1(x1,，f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，故C错误；因为函数f(x)在(0,1)上为增函数，所以y=f(x)+k在(0,1)上也为增函数，若y=f(x)+k在(0,1)上递减，则x∈(0,1)时，y=f(x)+k=-f(x)-k，则x∈(0,1)时，f(x)+k<0，即k<-f(x)，三、函数对称性与周期性一、对称性若f，且=b三f关于x=b对称（2）f(mx+a)+b是偶函数三f(x)关于x=a对称（4）f(mx+a)+b是奇函数三f(x)关于(a,b)对称对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同二、周期函数的常见条件一、若f(x)+f(x+a)=c（c为常数则f(x)周期为2a.证明：令x=x+a→f(x+a)+f(x+2a)=c，两式相减得f(x+2a)-f(x)=0即f(x+2a)=f(x)，故T=2a二，则T=2相对少见）三、其它周期条件设函数y=f(x)，x∈R，a>0，a≠b.（1）若f(x+a)=f(x-a)，则函数f(x)的周期为2a；（2）若f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)的周期为2a；若f则函数f(x)的周期为2a；（4）若则函数f(x)的周期为2a；（5）若f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)的周期为a-b；（6）若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数f(x)的周期为2b-a；（7）若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为2b-a；（8）若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为4b-a；（9）若函数f(x)是偶函数，且其图象关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2a；（10）若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x=a对称，则f(x)的周期为4a.三、周期与对称性的区分1.若f(x+a=±fx+b,则f(x)具有周期性；2.若f(x+a=±f(b−x),则f(x)具有对称性：口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”类型一：对称性和周期性的判断福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴923-24高一上·福建泉州·期末多选）定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x)，则下列结论一定成立的是()A．f(0)=0B．2是f(x)的一个周期C．(2,0)是f(x)的一个对称中心D．f(3x+1)为偶函数【答案】ACD【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得f(-x)=f(2+x)，进一步有f(3x+1)=f(1-3x)以及f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4)，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解.【详解】定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x)，所以f(0)=0，故A正确；且f(-x)=f(2+x)，所以f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4)，即f(x)的周期是4，不是2，故B错误；因为f(-x)=f(2+x)，所以f(x)的对称轴为x=1，又(0,0)为f(x)的一个对称中心，所以2,0是f(x)的一个对称中心，故C正确；因为f(-x)=f(2+x)，所以f(3x+1)=f(1-3x)，即f(3x+1)为偶函数，故D正确.类型二：利用对称性和周期性求值重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴若=6，则f）【答案】B【分析】根据题意，推得函数f(x)的周期为4，令x=1，得到f(0)=-f(2)且f(1)=f(3)，进而求得a=-2，b=2，再由f即可求解.【详解】由f(x+1)为奇函数，则f(-x+1)=-f(x+1)，即f(x)=-f(2-x)又由f(x+2)为偶函数，可得f(-x+2)=f(x+2)，即f(x)=f(4-x)，可得f(2-x)=-f(4-x)，即f(x)=-f(x+2)，所以f(x)=f(x+4)所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(-x+1)=-f(x+1)且f(-x+2)=f(x+2)令x=1，可得f(0)=-f(2)且f(1)=f(3)，又因为f(3)+f(4)=6，即f(3)+f(0)=6，即f(1)-f(2)=6+b，可得a+b-(4a+b)=6，解得a=-2，再令x=0，可得f(1)=-f(1)，即f1=0，所以f(1)=a+b=0，可得2-2广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴11．已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x+b，则f=() A．-1-2B．1-2C．2+1D．2-1【答案】B【分析】先由奇函数条件可得b=-1，然后根据函数的对称性可知函数的周期为4，再利用函数的周期性和奇偶性计算即可.【详解】因为f(x)为奇函数，且当x∈[0,1]时，f(x)=2x+b，又因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f(2-x)，且f(x)=-f(-x)则f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f2-(x-2)=-f(4-x)=f(x-4)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，2故f2023=f252×4+7=f7-4=f-1=-f1=12广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴12多选）设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是()A．B．f(x+7)为奇函数C．f(x)在(6,8)上为减函数D．方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解【答案】ABD【分析】根据f(x+1)为偶函数和f(x-1)为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明f(x)为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A：f(x+1)为偶函数，故f(x+1)=f(-x+1)，令得f(x-1)为奇函数，故f(x-1)=-f(-x-1)，令得其中所以正确；B：因为f(x-1)为奇函数，则f(x-1)=-f(-x-1),得f(-x-2)=-f(x)，又f(x+1)为偶函数，则f(x+1)=f(-x+1)，得f(-x+2)=f(x)，所以f(-x-2)=-f(-x+2)，令x=-x得f(x-2)=-f(x+2)，即f(x)=-f(x+4)，则f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即f(x+8)=f(x)，所以8为函数f(x)的一个周期.故f(x+7)=f(x-1)，所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7)，从而f(x+7)为奇函数，故B正确；C：f(x)=-x2+1在区间(-1,0]上是增函数，且f(x)的图象关于点(-1,0)对称，所以f(x)在(-2,0)上单调递增，又f(x)周期为8，故f(x)在(6,8)上单调递增，故C错误；D：作出f(x)与y=-lgx的大致图象，如图所示，故方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解，故D正确.江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴13多选）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=—f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1).下列命题正确的是()A．f(2023)+f(—2024)=0B．f(x)是周期为2的周期函数C．直线y=x与f(x)的图象有且仅有2个交点D．f(x)的值域为(—1,1)【答案】AD【分析】由已知判断出x≥0时，函数的周期，结合当x∈[0,1)时的解析式，即可作出x≥0时图象，结合奇偶性，可得整个定义域上图象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判断A；结合图象，数形结合，可判断B，C，D.【详解】由题意知当x≥0时，有f(x+1)=—f(x)，则f(x+2)=—f(x+1)=f(x)，即x≥0时，2为f(x)的周期，由f(x+1)=—f(x)，得f(x)=—f(x—1)，结合f(x)为定义在R上的偶函数，可作出f(x)的图象如图：对于A，f(2023)=f(1011×2+1)=f(1)=f(—2024)=f(2024)=f(1012×2+故f(2023)+f(—2024)=0，A正确；对于B，由以上分析可知x≥0时，2为f(x)的周期，结合图象，在整个定义域上f(x)不是周期函数，B错误；对于C，在同一坐标系再作出y=x的图象，可知直线y=x与f(x)的图象有且仅有1个交点(0,0)，C错误；f(x)的值域为(1,1)，D正确广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴·14多选）已知定义在R上的函数f(x)满足，且当—1≤x<0时，f=2x，A．f(x)是周期为2的周期函数4xC．f(x)的图象与g(x)=log0.5x的图象有两个公共点D．f(x)在(2022,2024)上单调递增【答案】ACD【分析】根据已知可得即可得出A项；根据已知求出x∈[0,1)时的解析式，进而根据周期性，得出函数在[4,5)上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数f(x)的图象以及g(x)=log0.5x的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在[0,2)上单调递增，即可根据周期性，得出D项.【详解】对于A项，由已知可得所以是周期为2的周期函数，故A正确；又f(x)的周期为2，所以f(x)=f(x—4).当x∈[0,1)时，f(x)=21x，且f作出函数y=fx以及y=gx的图象，显然，当x<2时，f(x)的图象与g(x)=log0.5x的图象没有交点.0.54由图象可知，f(x)的图象与g(x)=log0.5x的图象有两个公共点，故C项正确；f(x2)=2x2.又f(x)的周期为2，所以f(x)=f(x—2)=2x—2在[1,2)上单调递增.当x∈[0,1)时，f(x)=21x，显然f(x)=21x在[0,1)上单调递增.所以，f(x)在[0,2)上单调递增.根据函数的周期性可知，f(x)在(2022,2024)上单调递增.故D正确.类型四：利用周期性求若干个函数值的和华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴15．定义在R上的函数f(x)满足f(1+3x)=f(1—3x)，且f(2x+4)关于(—2,0)对称，当0≤x【答案】1012【分析】推导出函数f(x)是周期为4的周期函数，计算出f(0)、f1、f(2)、f(3)的值，结合函数f(x)的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值.所以，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f2+x=f−x，因为函数f(2x+4)的图象关于点(—2,0)对称，即=0，即f，令s=2x+4，则f(s)+f(—s)=0，故函数f(x)为奇函数，所以f2+x=f−x=−fx，则f(4+x)=—f(2+x)=f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，故答案为：1012.广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴16多选）已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，都存f且A．y=f(x+1)是奇函数B．f(4—x)=—f(x)【答案】BD【分析】由题意可得函数f(x)是奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，进而可求出函数的周期，再逐一分析即可得解.【详解】因为f(—x)=—f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为所以函数f(x)的图象关于x=1对称，故f(1)=0，与题意矛盾，所以y=f(x+1)不是奇函数，故A错误；对于B，由f得f(x)=f(2—x)，对于C，根据题意不能得出函数的单调性，所以无法确定函数的值域，故C错误；对于D，由B选项可得f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，则f(2)=f(0)=0，f(4)=f(0)=0，所以f1+f2+f3+f4=0，类型五：两个函数混合型重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴17多选）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)=f(4+x)，A．f(1)=1B．f(x)为奇函数C．f(x)的周期为【答案】ACD【分析】根据已知得g(x—4)=f(x)，将f(x+y)+f(x—y)=g(x—4)f(y)转f(x+y)+f(x—y)=f(x)f(y)，给x,y取值推导奇偶性和周期性解决问题.:g(x)=f(4+x)，:g(x—4)=f(x)，:f(x+y)+f(x—y)=f(x)f(y)，令y=1，则f(x+1)+f(x—1)=f(x)①,:f(x+2)+f(x)=f(x+1)②,①+②可得f(x—1)+f(x+2)=0，:f(x)+f(x+3)=0，:f(x+3)+f(x+6)=0，:f(x)=f(x+6)，因此T=6，故C正确；令x=0，f(y)+f(—y)=f(0)f(y)，令x=1，y=0，2f(1)=f(1)f(0)，则f(0)=2，故x=0，f(y)+f(—y)=2f(y)→f(y)=f(—y)，故f(x)为偶函数，所以B不正确；因为f(x)=f(x+6)=f(—x)，故f(x)关于x=3对称，且f(0)=2，f(1)=1，令x=1，y=1，则f(4)=f(2)=—1，f(5)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，一个周期的和为0，则=3，故D正确.广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴18多选）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)+f(—x+2)=1，f(x)—g(x+1)=1，若y=fx的图象关于直线x=1对称，则以下说法正确的是()A．g(x)为奇函数D．若f(x)的值域为[m,M]，则g(x)+f(x)=m+M【答案】BC再结合y=f(x)的图象关于直线x=1对称，可得y=f(x)的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.:f(x)—g(x+1)=1，:f(x)+f(1—x)=2，:f(x)关于x=1对称，:f(1—x)=f(1+x)，:f(x)+f(1+x)=2，:f(x+1)+f(2+x)=2，:f(x)=f(2+x)，故C正确；:f(x)关于x=1对称，:f(x)=f(2—x)，:f(x)=f(—x)，:f(x)为偶函数，:g(x)+f(—x+2)=1，:g(x)+f(x)=1，:g(—x)+f(—x)=1，:g(—x)+f(x)=1，:g(x)=g(—x)，:g(x)为偶函数，故A错误；:f(x)+f(1—x)=2，:f(x)图象关于点,1)中心对称，:存在一对最小值点与最大值点也关于,1)对称，:m+M=2，:g(x)+f(x)=1=m+M—1，故D错误；由=2得f=1，又T=2，所以f类型六：对称性的探究问题广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴19．已知a>0且a≠1，若函数中至少存在两点A,B，使A,B关于y轴对称，【分析】结合一次函数单调性对参数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可知当a≥2时才会满足题意，再结合一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得a—2>a0=1，即可求得a的取值范围.所以当x<0时，f(x)<0,当x≥0时，f(x)≥0,此时不存在两点使其关于y轴对称，所以0<a<1不满足题意；当x≥0时，f(x)≥0,当x<0时，f(x)<0,此时不存在两点使其关于y轴对称，所以1<a<2不满足题意；当a=2时，函数f1>1，存在使其关于y轴对称，满足题意；易知y=(2a)x,x≤1与y=(a2)x关于y轴对称，要存在两点A,B使其关于y轴对称，则需当x>1时，函数y=(a—2)x与函数y=ax—1的图象有交点，再由一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得a—2>a0=1，即a>3.综上所述，a的取值范围是a=2或a>3四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和1、函数对称性函数y=f(x)的定义域为D，x∈D，①存在常数a，b使得f(x)+f(2a—x)=2bf(a+x)+f(a—x)=2b，则函数y=f(x)图象关于点(a,b)对称.②存在常数a使得f(x)=f(2a—x)f(a+x)=f(a—x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=a对称.2、若两个函数有相同的对称轴或对称中心，则它们的交点也关于该对称轴或对称中心对称（1）若f(x)与g(x)关于x=a对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和am（2）若f(x)与g(x)关于(a,b)对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和am，纵坐标之和为bm安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴20．已知函数，则f(—2024)+…+f(—1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=()A．4047B．4048C．4049D．4050【答案】C·【分析】由已知，得f(-x)+f(x)=2，则f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)，即可求得结果.【详解】因为函数，所以f所以所以f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)=4048+1=4049.故选：C.广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴21．定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)是奇函数，且函数y=f(x)的图象与函数y=-的交【答案】C【分析】由题意知函数f(x)的图象和函数的图象都关于(1,0)对称，可知它们的交点也关于点(1,0)对称，由此可求得结果.【详解】因为f(x+1)是奇函数，所以f(x)关于点(1,0)对称，又函数的图象关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴【答案】D【分析】分析可知，两个函数的图象都关于点(|(0,),对称，确定两个函数图象公共点的个数，结合对称性可得出y1+y2+…+yn-1+yn的值.12x+1，所以，则函数f(x)的图象关于点(|(0,),对称，所以，函数g(x)的图象也关于点(|(0,),对称，不妨设x1<x2<…<xn，作出函数f(x)、g(x)的图象如下图所示：由图可知，两个函数的图象共有19个公共点，安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴23．函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3-3x2图象成中心对称，则：【答案】-8094【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数f(x)的对称中心，再求值即可.【详解】设函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为P(a,b)，设g(x)=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b，则g(x)为奇函数，g(-x)=f(-x+a)-b且g(-x)=-g(x)，则f(-x+a)-b=b-f(x+a)，整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0，于是{解得,因此函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(1,-2)，则f(-x+1)+f(x+1)=-4，则S=f(2024)+f(2023)+…+f(2)+f(1)+f(0)+…+f(-2021)+f(-2022)，于是2S=4047×(-4)，解得S=-8094，所以f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)=-8094.湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴24多选）定义在R上的函数f(x)满足f(4-x)=-f(x),f(2x+1)为偶函数，f(1)=2，函数g(x)(x∈R)满足g(x)=g(2-x)，若y=f(x)与y=g(x)恰有2023个交点，从左至右依次为(x2023,y2023)，则下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．2为y=f(x)的一个周期22023【答案】ACD【分析】根据题意，推得得到f(2+x)+f(x)=0，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】由f2x+1为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又由f4−x=−fx，则函数f(x)的图象关于点2,0对称，则可得f(2+x)+f(x)=0.对于A中，由f(2+x)+f(x)=0，可得f2−x=−f−x，所以f(x)=-f(-x)，所以f(x)为奇函数，所以A正确；对于B中，由f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，可得f(1)=2,f(3)=-f(1)=-2，显然f(3)≠f(1)，所以B错误；对于C中，由g(x)=g(2-x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称，因此函数f(x)与g(x)的交点也关于x=1对称，则y1012=f(1)=2，所以C正确；对于D中，由函数f(x)与g(x)的交点也关于x=1对称，可得xi=2023，故D正确.湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴25多选）定义在R上的奇函数f(x)，满足f(1+x)=f(3-x)且f(x)在[0,2]上单调递减，A．函数f(x)图象关于直线x=2对称B．函数f(x)的周期为4.C．f(2024)+f(2022)=1D．设g和g的图象所有交点横坐标之和为-2【答案】AC【分析】A：将f(1+x)=f(3-x)变形为f(2+x)=f(2-x)即可判断；B：根据f(-2),f(2)的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简f(2024)+f(2022)，结合f(x)的奇偶性可判断结果；D：先分析fx,gx的图象的对称性，然后作出fx,gx在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断.【详解】对于A：因为f(1+x)=f(3-x)，所以f(2+x)=f(2-x)，所以f(x)图象关于直线x=2对称，故A正确；对于B：因为f(1+x)=f(3-x)，所以f(x+4)=f(-x)，又因为f(x)是R上的奇函数，所以f−x=−fx，所以f(x+4)=-f(x)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为8，又因为f(-2)=-f(2)=1，所以f(-2)≠f(2)，所以f(x)的周期不可能为4，故B错误；对于C：因为f(x)的周期为8，所以f(2024)+f(2022)=f(8×253)+f(8×253-2)=f(0)+f(-2)，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)+f(-2)=0-f(2)=1，所以f(2024)+f(2022)=1，故C正确；对于D：因为f(x+4)=f(-x)，所以f(-4-x)=f(x+8)=f(x)，所以f(-2-x)=f(-2+x)，所以f(x)的图象关于x=-2对称，又因为-4-x+2所以g(-2-x)=g(-2+x)，所以g(x)的图象也关于x=-2对称，作出fx,gx在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示：由图象可知：fx,gx有两个交点，且交点关于x=-2对称，所以fx,gx)的图象所有交点横坐标之和为-2×2=-4，故D错误五、构造新函数解不等式常见模型江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴26．已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2，若对于x1，x2∈(0,+∞)，当x1>x2时，都有【答案】B【分析】令g(x)=xf(x)，由题可知g(x)为R上的偶函数且在0,+∞上单调递减，由g(2)=2f(2)=4，将不等式(x+1)f(x+1)>4转化为g(x+1)>g(2)或g(x+1)>g(-2)，结合g(x)的单调性即可求解.因为x1>x2>0，所以x1-x则有x1f(x1)-x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2).令g(x)=xf(x)，则g(x)在0,+∞上单调递减.因为f(x)为R上的奇函数，所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(-∞,0)上单调递增.则不等式(x+1)f(x+1)>4可转化为g(x+1)>g(2)所以-2<x+1<2，解得-3<x<1.广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴·27．设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x若f(2)=4，则不等式f(x)-2x≤0的解集为.【分析】先得到在上单调递增为偶函数，故g在(-∞,0)上单调递减，分x>0与x<0、x=0三种情况，结合f(2)=4，得到不等式的解集.【详解】不妨设x1>x2>0，由>0得x2f(x1)-x1f(x2)>0，故在上单调递增，因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，的定义域为故为偶函数，在上单调递减，当x>0时，f-2x≤0→f≤2x→当x<0时，f-2x≤0→f≤2x→因为g(2)=2，所以g(-2)=2，故g(x)≥g(-2)，解得x≤-2；当x=0时，f(0)-2×0=0，符合题意；故不等式的解集为[0,2]U(-∞,-2].江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴28．已知函数f(x)=x2-x，若对于任意的x1、x2∈[1,+∞)，x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，则a的取值范围是()【答案】Da≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，根据二次函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，在不等式x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)两边同时除以x1x2可得2+x-1，则g所以，函数g(x)=ax2+x-1在[1,+∞)上单调递减，当a=0时，g(x)=x-1在[1,+∞)上单调递增，不合乎题意，综上所述，实数a的取值范围是湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴29．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若a,b∈,且a≠b，都有成立，则不等式f|((),-(t2-2t)f(t-2)>0的解集为()B．)【答案】B【分析】构造函数F(x)，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可.【详解】设F(x)=xf(x)，由f(x)是定义在R上的偶函数，则F(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-F(x)，所以F(x)是定义在R上的奇函数.所以F(x)是[0,+∞)上的减函数，又F(x)是R上的奇函数，所以F(x)图象关于原点对称，则F(x)是R上的减函数.①当t>0时，不等式可化为f(|(),-(t-2)f(t-2)>0，即<t-2，由t>0，则t2-2t-1>0解得t<1-2（舍或t>1+2；②当t<0时，不等式可化为即2，由t<0，则t2-2t-1>0重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题立，则不等式f|((),-(2t2-t)f(2t-1)>0的解集为()【答案】D【分析】根据题意，构造函数g(x)=xf(x)，求出函数g(x)的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【详解】令g(x)=xf(x)，由题意知g(x)在[0,+∞)上为减函数，又f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为R上的奇函数，所以g(x)在R上为减函数，①当t>0时，f(|(,)>(2t-1)f(2t-1)所以<2t-1，所以1<2t2-t，解得t所以>2t-1，所以1<2t2-t，解得t<-.所以t<-或t>1.江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴31．已知函数f(x)=x2-x，若对于任意的x1、x2∈[1,+∞)x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，则a的取值范围是()【答案】D2a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，根据二次函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，在不等式x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)两边同时除以x1x2可得2+x-1，则g所以，函数g(x)=ax2+x-1在[1,+∞)上单调递减，当a=0时，g(x)=x-1在[1,+∞)上单调递增，不合乎题意，综上所述，实数a的取值范围是|-∞广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴32多选）设偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)u(0,+∞)，且满足f(2)=0，对于任意xx2,,D．不等式>0的解集为(-2,0)(0,2)【答案】AC【分析】AB选项，令n=0，得到f(x)在(0,+∞)上单调递增，结合f(x)的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令g，推出g的单调性和奇偶性，结合g(2)=0，解不等式，求出解集.AB选项，当n=0时，即>0，故f在上单调递增，偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)u(0,+∞)，故f(x)在(-∞,0)上单调递减，又f(2)=0，故f(-2)=0，当-<x<0时，2x+1>0，由于f(x)在(0,+∞)上单调递增，当x<-时，2x+1<0，由于f(x)在(-∞,0)上单调递减，故f(2x+1)<0=f(-2)，故2x+1>-2，解得x>-，故-<x<-；故不等式>0的解集为，A正确，B错误；令n=1012得所以在上单调递增，因为f(x)为(-∞,0)u(0,+∞)上的偶函数，所以为偶函数，因为f(2)=0，所以g(2)=0，故x>2，解得x>2或x<-2，C正确，D错误.故选：AC六、等高线问题等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义。对于函数f(x)，若存在互不相等的实数a,b,c使f(a)=f(b)=f(c)=t，则称直线y=t为函数f(x)的等高线．解决等高线问题时，要注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘函数的性质，如对称性、不变性(如定和、定积)等，从而有效地、快速地解决问题。安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴33．已知数,若m<n且f，则n+m的取值范围是()【答案】B【分析】设f(n)=f(m)=t，则m，n为直线y=t与函数y=f(x)图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出n+m的取值范围.【详解】设f(n)=f(m)=t，则m，n为直线y=t与函数y=f(x)图象的两个交点的横坐标，且≤t≤2，根据对勾函数的性质可知上单调递减，在(1,2]上单调递增+4-2==1+1-2=0，g+2-2=所以n+m的取值范围是[0,].故选：B.重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴34多选）已知函数若存在四个不同的值x1,x2,x3,x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1<x2<x3<x4)，则下列结论正确的是()A．-2≤x1<-1B．0≤x1x2<1C．x3x4=e【答案】ABD【分析】由f(x)的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.【详解】当x=0时，f(0)=2，当x=-1时，f(-1)=1，当x=1时，f1=0，由图像可知，x1<-1，此时1<fx1+1≤2，解得-2≤x1<-1，故A对；因为f(x)=2x+1关于x=-1对称，所以x1+x2=-2，又-1<x2≤0，3234故选：ABD安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴35．已知函数若关于x的方程f(x)=0有四个不等的实数根，从小到大依次为x1,x2,x3,x4，则3x3的取值范围为()【答案】D【分析】根据对数函数、分段函数的图象与性质结合函数的单调性计算即可.设g则f(x)=g(x)m，故f(x)=0可转化为g(x)=m，即y=gx的图像与直线y=m有4个不同的交点，对应横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4，3x33x4.x4所以：3x3=6x3+重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴36．已知f若方程f(x)=a有四个不同的解x1<x2<x3的取值范围是.【分析】结合函数y=fx的图象与性质知0<a≤2，x1+x2=4，x3x4=1，将x1+x2++化简为4+x3+x4，进而化简为4+2a+2a，求出范围即可.【详解】作出函数的图象：方程f(x)=a有四个不同的解x1<x2<x3<x4，设log1x3=a,log1x4=a，所以x3+x4=2a+2a，22所以则x1+x2++的取值范围为(2,]浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴37．函数f(x)=x424x+16，g(x)=6x3+ax2，方程f(x)=g(x)恰有三个根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，则的值为.【答案】25【分析】由题意得a=x2-6x-通过换元法得关于t的方程a=t2-6t-8的根的个数为2；结合韦达定理可知或由此即可得解.【详解】由题意f(x)=g(x)，即ax2=x4-6x3-24x+16，显然x≠0，令t=x+所以等号成立当且仅当ixi=2，由对勾函数性质得，当t>4或t<-4时，关于x的方程t=x+的根的个数为2，当t=4或t=-4时，关于x的方程t=x+的根的个数为1，当-4<t<4时，关于x的方程t=x+的根的个数为0，由题意方程f(x)=g(x)恰有三个根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，而关于t的方程a=t2-6t-8的根的个数情况可能为0，1，2；所以关于t的方程a=t2-6t-8只能有两个不相等的根(Δ>0不妨设为t1,t2，且t1>4或t1<-4，t2=4或t2=-4；又由韦达定理有t1+t2=6，所以或，所以x1=-2是关于x的方程t2=-4=x+的根，x2,x3是关于x的方程t1=10=x+即x2-10x+4=0由韦达定理有x2+x3=10，x1+=-2.5，所以=-25.武汉市华中师范大学第一附属