第01讲-直线的方程(精讲)(解析版)

第01讲直线的方程目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 4高频考点一：直线的倾斜角与斜率 4高频考点二：求直线的方程 7高频考点三：直线过定点问题 11高频考点四：与直线方程有关的最值问题 13高频考点五：直线方程的综合应用 16第一部分：知识点必背知识点一：直线的倾斜角以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.知识点二：直线的斜率1、我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角时，直线的斜率不存在.2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。知识点三：直线方程的五种形式1、直线的点斜式方程已知条件（使用前提）直线过点和斜率（已知一点+斜率）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）2、直线的斜截式方程已知条件（使用前提）直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）3、直线的两点式方程已知条件（使用前提）直线上的两点，（，）（已知两点）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在且不为0；当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程4、直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为图示点斜式方程形式适用条件，5、直线的一般式方程定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：直线的倾斜角与斜率典型例题例题1．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线的倾斜角是．【答案】/【详解】因为过两点的直线的斜率为：，因为，是直线的倾斜角，且所以直线的倾斜角为：．故答案为：.例题2．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.例题3．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】直线恒过定点，且，，由图可知，或.故选：C.例题4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【详解】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC练透核心考点1．（2023秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：A.2．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则.故选：B.3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A4．（2023·全国·高二专题练习）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由于直线的斜率为，且经过定点，设此定点为.而直线的斜率为，直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，只需.故选：C.高频考点二：求直线的方程典型例题例题1．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：D例题2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为.【答案】或【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，即直线过原点，又过，则直线方程为；若截距不为，设在轴、轴上的截距为，则直线方程为，又直线过点，则，解得，所以此时直线方程为.故答案为：或例题3．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知点求：(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的高所在直线方程；(3)边的垂直平分线的方程.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）的中点坐标为，且所以BC边上的中线所在直线的方程：（2）BC的斜率：，所以BC边上的高所在直线方程的斜率：BC边上的高所在直线方程：即：.（3）由前两问知：的中点坐标为，.BC边的垂直平分线的斜率：，BC边的垂直平分线的方程:即：例题4．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点；(2)经过点，平行于轴；(3)在轴和轴上的截距分别是；(4)经过两点；(5)在轴上的截距是，倾斜角是；(6)倾斜角为，与轴的交点到轴的距离是3．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或【详解】（1）由点斜式得，即.（2）因为直线平行于轴，所以斜率等于，由点斜式得，即.（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是；所以直线方程的截距式为：，即.（4）由两点式得，即.（5）斜率，由点斜式得，即.（6）斜率为，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为，所以所求直线方程为或，即或.练透核心考点1．（2023秋·湖北·高二统考期末）经过点且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】直线的斜率为，两直线平行，故所求直线方程为.整理得：.故选：D2．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）求满足下列条件的直线方程：(1)过点，与直线平行；(2)过点，与直线垂直．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为直线的斜率为，所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率是，

因为所求直线过点，所以所求的直线方程是，即；（2）因为直线的斜率为，所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率是，因为所求直线过点，所以直线方程为，即.3．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边所在直线的点斜式方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）如图所示，

直线过点，，可得直线与轴平行，故边所在直线的方程为（2）由可得直线的倾斜角为，故斜率，故所在直线的方程为．4．（2023·高二课时练习）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．(1)BC边上的高线的方程；(2)BC边的垂直平分线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以BC边上的高线的斜率，故BC边上的高线的方程为：,即所求直线方程为：.（2）因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率，又BC的中点为，故BC边的垂直平分线的方程为：，即所求直线方程为：.高频考点三：直线过定点问题典型例题例题1．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】直线方程可整理为：，则由得：，即直线恒过定点.故选：B.例题2．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）直线（）必过点.【答案】【详解】直线方程（）可化为，（），∴由，解得，∴直线（）必过定点.故答案为：.练透核心考点1．（2023·江苏·高二假期作业）求证：不论为何实数，直线都恒过一定点．【答案】证明见解析【详解】证法一（特殊值法）：取，得到直线，取，得到直线，故与的交点为．将点代入方程左边，得，∴点在直线上．∴直线恒过定点．证法二（分离参数法）：由，整理，得．则直线通过直线与的交点．由方程组，得，∴恒过定点．2．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为.【答案】【详解】因为实数、、成等差数列，所以，即，所以直线必过点.故答案为：高频考点四：与直线方程有关的最值问题典型例题例题1．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）当点到直线的距离取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将直线转化为，联立方程组，解得，所以直线经过定点，当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，此时，解得.故选：C.例题2．（2023·四川·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为.【答案】【详解】由题意，设，且可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，如图所示，在直角中，可得，可得直线的斜率为；在直角中，可得，可得直线的斜率为，所以的范围为.故答案为：.

例题3．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为．【答案】【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.

练透核心考点1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是．【答案】10【详解】由得，故,由得,由于直线与直线互相垂直，所以,故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10故答案为：102．（2023春·北京西城·高一北师大二附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，，，点在线段上运动，则的取值范围为.【答案】【详解】由题意可知线段满足的方程为，设，则，因为，所以，因为，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值4，所以的取值范围为，故答案为：3．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为．【答案】【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即m的取值范围为.故答案为：.高频考点五：直线方程的综合应用典型例题例题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.(1)求所在直线的一般式方程；(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【详解】（1），所在直线的斜率为：.所在直线方程是，即；（2）设点的坐标是，点的坐标是，由平行四边形的性质得点的坐标是，是线段的中点，，，于是有，，点在线段上运动，，，即，由得，线段的中点的轨迹方程为.例题2．（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）在三角形中，已知点，，.(1)求边上中线所在的直线方程；(2)若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的一般式方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）∵，，∴线段的中点的坐标为，又边上的中线经过点，∴，即，故边上中线所在的直线方程（2）当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，所以所求直线的方程为，即；当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，所以所求直线的方程为，综上所述，该直线的一般式方程为或.例题3．（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）直线经过两条直线和的交点，且_____．(1)求直线的方程；(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线平行，②直线在轴上的截距为．【答案】(1)(2)【详解】（1）选①直线经过两条直线和的交点，，解得，，即，直线与直线平行．可设直线的方程，把代入可得，直线的方程为，选②直线经过两条直线和的交点，，解得，，即，由题意可知直线的斜率存在，设为且，则过，代入可得，直线的方程，（2）在直线中，令可得，令可得，所以直线与坐标轴围成的三角形面积．练透核心考点1．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2