第10讲-幂函数-2022年新高一数学(人教版2019必修第一册)(原卷版)

第10讲幂函数【学习目标】通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．【基础知识】一、幂函数的概念1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的图象(如图)．三、幂函数的性质1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．【考点剖析】考点一：幂函数的定义例1．（2021-2022学年河北省沧州市高一上学期期末）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选C.考点二：幂函数的图象及应用例2．（2021-2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（

）.A．①④ B．① C．①② D．①③④【答案】A【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，所以，若时，可得，所以④正确.故选A．考点三：利用幂函数单调性比较大小例3．比较下列各题中两个值的大小：（1）和

（2）和.【解析】（1）考察幂函数，因为其在区间上是增函数，而且，所以.（2）考察幂函数，因为其在区间上是减函数，而且，所以.考点四：幂函数图象与性质的综合应用例4．（多选）（2021-2022学年广东省普宁市高一上学期期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（

）A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则【答案】BCD【解析】将点代入函数得：，则，所以，∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；函数在定义域上为增函数，所以B正确；当时，，即，所以C正确；若时，==.即成立，所以D正确.故选BCD.【真题演练】1.（2021-2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（

）A． B．3 C．或3 D．2.（2021-2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中）已知幂函数（a是常数），则（

）A．的定义域是R B．在单调递增C．过定点 D．可能过定点3.（2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（

）A． B．C． D．4.（多选）（2021-2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末）已知幂函数，则（

）A． B．定义域为C． D．5.（多选）（2021-2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（

）A． B．C． D．6.（2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．7.（2021-2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．8.（2021-2022学年广西十八校高一10月联考）已知幂函数的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．【过关检测】1.（2021-2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中）已知点（a，2）在幂函数的图象上，则函数f（x）的解析式是（

）A． B．C． D．2.下列命题中正确的是（

）A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线3.（2021-2022学年】河北省石家庄市藁城区第一中学高一上学期月考）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（

）A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为4.（2021-2022学年河南省郑州市中牟县高一上学期期中）若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数B．若，则C．为偶函数D．若，则5.（多选）下列关于幂函数的性质说法正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为6.（2021-2022学年福建省漳州市高一上学期期末教学质量检测）已知幕函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为07.（2021-2022学年四川省德阳市什邡市什邡中学高一下学期月考）已知点在幂函数的图象上，则=_______．8.（2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考）写出一个同