第13讲-直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版)

第13讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.直线与圆的位置关系(1)三种位置关系(2)根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)相离⇔公共点⇔d>r;相切⇔公共点⇔d=r;相交⇔公共点⇔d<r.(3)联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程Ax+By+C=0x当Δ>0时，直线与圆有当Δ=0时，直线与圆当Δ<0时，直线与圆(4)圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0)，圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>无解4外切d=一组实数解3相交|r1-r2|<d<两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解01.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式),左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).【题型1直线与圆的位置关系】【典题】（1）求过点P(−1,4)，圆x−22+y−3【典题】（2）若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a【典题】（3）已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=3，过直线3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，【典题】（4）已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆x−12+y2=1巩固练习1.已知过点P(2,2)的直线l与圆x−12+yA．1 B．12 C．2 D．2.点M(x0,y0A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定3.已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT4.【多选题】已知点P在圆x−52+y−5A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|=32 D．当∠PBA最大时，5.直线x+y+a=0与半圆y=−1−x2有两个交点,则a的值是6.若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为22，则7.已知P(x,y)是圆x−12+y−22=r2(r>0)上任意一点，若【题型2圆与圆的位置关系】【典题】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)判断两圆公切线的条数;(2)求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.知识点加深：（1）本题中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,求线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程.（2）本例中的两圆若相交于两点A,B,求经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程.巩固练习2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于()A.-8B.-19C.-5D.63.已知圆O1:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆O2:x2+y2=4有且仅有两条公切线,则正数a的取值范围为()A.(0,1) B.(0,3)C.(1,3) D.(3,+∞)6.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62,则圆D的半径为()A.5B.25C.26D.279.(2022·天津一模)已知圆M与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆M的标准方程为.

一、单选题1．（2004·湖北·高考真题）两个圆与的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．（2005·辽宁·高考真题）若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（

）A．8或 B．6或 C．4或 D．2或3．（2002·北京·高考真题）圆与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定4．（2004·安徽·高考真题）若直线与圆有两个不同的交点，则a的范围是（

）A． B． C． D．5．（2006·湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（

）A．36 B．18 C． D．6．（2008·山东·高考真题）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（

）A． B．C． D．7．（2015·山东·统考高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（

）A．充分没必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2002·全国·高考真题）直线与圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切三、填空题10．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．11．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为．12．（2002·北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为．13．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则．14．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．15．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．16．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．一、单选题1．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（

）A．1 B． C． D．2．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．若圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴左侧，且与直线相切，则圆C的方程是（

）A． B．C． D．4．过作圆:的两条切线，切点分别为两点，则两点间的距离为（）A． B． C． D．5．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（

）A． B． C． D．16．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（

）A． B． C． D．8．以下四个命题表述正确的是（

）A．一定表示圆B．圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，则D．圆与圆相交，交线方程为三、填空题9．已知直线：与圆相切，则的值是.10．已知点和圆，自点P引圆的割线，所得弦长为，则割线所在的直线方程为.11．若抛物线在点（1,2）处的切线也与圆相切，则实数的值为.12．如图，在边长为的正三角形内部的两圆，圆与圆外切，且圆与两边相切，圆与两边相切，则两圆的周长之和的最小值为．四、解答题13．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．问题：已知直线过点M（3，5），且______．(1)求的方程；(2)若与圆相交于点