2023年八年级第一学期期末测试数学试题带解析

2023-2024学年度第一学期期末测试数学试题一、选择题(每小题3分，共24分)1.下列四个数中，最大的一个数是（）A.2 B. C.0 D.﹣2【答案】A【解析】【详解】根据实数比较大小的方法，可得：﹣2＜0＜＜2，故四个数中，最大的一个数是2．故选A．【点睛】本题考查实数的大小比较，无理数与有理数比较大小可平方后再比较大小.2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3.化简的结果是A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：故选D．4.下列各式计算正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加、减、乘、除法分别进行计算即可得.【详解】A.与不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.，故错误；C.，故错误；D.，正确，故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.5.已知△ABC的三个角是∠A，∠B，∠C，它们所对的边分别是a，b，c.①c2－a2＝b2；②∠A＝∠B＝∠C；③c＝a＝b；④a＝2，b＝2，c＝.上述四个条件中，能判定△ABC为直角三角形的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理逆定理、三角形的内角和逐一进行判断即可得.【详解】①由c2－a2＝b2，可得c2=a2+b2，故可判断三角形ABC是直角三角形；②∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；③∵c＝a＝b，∴a=b，∴a2+b2=2a2=c2，∴△ABC是直角三角形；④∵a＝2，b＝2，c＝，∴a2+b2=12≠c2，∴△ABC不直角三角形，故选C.【点睛】本题考查了直角三角形的判定，主要涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A.30° B.40° C.70° D.80°【答案】A【解析】【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．【详解】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°−∠A）÷2=70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A.4.8 B.4.8或3.8 C.3.8 D.5【答案】A【解析】【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC＝SABP+SACP，代入数值，解答出即可．【详解】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝3，∴，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选A．【点睛】考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．8.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点M，与OB交于点N，由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P1P2的长，此时△PMN的周长最小．∵OP=5，△PMN周长的最小值是5cm，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，∴OP1=OP2=P1P2，∴△OP1P2是等边三角形，∴∠P2OP1=60°，∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，故选：B．二、填空题(每小题4分，共24分)9.如果分式有意义，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故，解得．考点：分式有意义的条件．10.计算（+）（﹣）的结果为__________．【答案】﹣1【解析】【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】11.等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是__．【答案】120°##120度【解析】【详解】解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为120°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质．12.已知：，那么a＋b的值为________.【答案】-3【解析】【详解】解：∴a−2=0，b+5=0，∴a=2，b=−5；a+b=2−5=−3.故答案为：−313.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．【答案】8【解析】【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【详解】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得．故答案为：8．14.如图所示，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N再分别以MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的有________．①AD是的平分线；②；③点D在AB的中垂线上；④【答案】①②③④【解析】【分析】①根据题目中尺规作图的步骤即可判断出AD是的平分线；②利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；③通过角平分线定义能够得出，则然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论；④根据含30°的直角三角形的性质得出，则，又因为和高相同，则和面积之间的关系可求．【详解】由题干可知，AD是的平分线，故①正确；∵，∴∵AD平分∠BAC∴,故②正确；∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵和高相同，∴，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键．三、解答题(共52分)15.计算：－(－)×(＋)＋×【答案】＋5【解析】【分析】按顺序分别进行分母有理化、利用平方差公式进行二次根式的乘法、二次根式的乘法，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】原式＝－[]＋×3＝－(3－2)＋6＝－1＋6＝＋5.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，根据式子的特征熟练运用相关法则进行计算是解题的关键.16.如图，在长方形中，，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于点M，它在数轴上表示的实数是a．（1）求出a的值；（2）先化简，再求值：，其中a是（1）中所求的实数．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）进行解答即可求得a的值；（2）括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算进行化简，然后把（1）中a的值代入进行计算即可得．【小问1详解】解：∵∴，∴；【小问2详解】解：原式＝==，当时，原式=．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，分式的化简求值，熟练掌握勾股定理、实数与数轴的关系、分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．17.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．【详解】证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°．∴∠AFE+∠EAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CFD+∠ECB＝90°，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB．在△AEF和△CEB中，∵，∴△AEF≌△CEB（ASA）；（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC∴CD＝BD，BC＝2CD．∴AF＝2CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．18.如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两港口，海上有一座小岛P，渔民每天都乘轮船从A，B两港口沿AP，BP的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P在A港的北偏东60°方向，在B港的北偏西45°方向，小岛P距海岸线MN的距离为30海里．（1）求AP，BP的长（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）；（2）甲、乙两船分别从A，B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？【答案】（1）AP＝60海里，BP＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，则有PE=30海里，由题意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，从而可得AP＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的长；(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程，求解后进行检验即可得.【详解】(1)如图，过点P作PE⊥MN，垂足为E，由题意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，∴PE＝EB＝30海里，在Rt△PEB中，BP＝＝30≈42海里，故AP＝60海里，BP＝42(海里)；(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据题意，得，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，甲船速度为1.2x＝1.2×20＝24(海里/时).，答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.19.（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：；（2）如图2，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．填空：的度数为；线段与之间的数量关系是．（3）拓展探究如图3，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（