2024年中考模拟试卷数学（江西卷）

2024年中考第二次模拟考试数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列四个数中，属于有理数的是（

）A． B． C．π D．2．下列计算不正确的是（

）A． B． C． D．3．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列绿色食品、回收、节能、节水四个节能环保标志中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．若一次函数y＝kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则函数y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A． B．C． D．6．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7．因式分解：．8．2023年上半年江西进出口总值3312.3亿元，同比增长6.3%，居全国第十位．今年以来，在全球经济增长放缓、外部需求走弱的大背景下，江西外贸却能保持稳中有进、稳中提质．将3312.3亿用科学记数法表示应为．9．若一元二次方程的两根分别为，则．10．，两市相距200千米，甲车从市到市，乙车从市到市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快12千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是千米/小时，则根据题意，可列方程.11．如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含的式子表示）12．如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是时，与全等．

三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13．（1）解方程

（2）计算：14．已知：如图，，点、在线段上，与交于点，且，．求证：．

15．如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．图2图1图2图1(1)在图中，在上找一点F，使；(2)在图中，在上找一点G，使．16．足球比赛中，为了使参赛两队的球服颜色不同，规定：一个球队一般准备三套不同颜色的球衣，赛前参赛两队抽签选择主队和客队的身份，由主队先选择球衣颜色后，另一支球队选择不同颜色的球衣．现A、B两队都准备了红、白、黄三种颜色的球衣．(1)求A队选择红色球衣的概率；(2)用列举法求出两队球衣颜色为一红一白的概率．17．如图，反比例函数的图象与正比例函数y=2x相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，AB⊥BC．(1)求反比例函数解析式及点B坐标；(2)求△ABC的面积．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级组同学的分数分别为：，，，；八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率七八(1)填空：______，______，______；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）(3)该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．19．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）

(1)连接，求证：；(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：）20．为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．(1)求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；(2)我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，，请直接写出_____．22．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标；(3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23．如图1，在正方形中，点分别在边上，且，延长到点G，使得，连接．【特例感知】（1）图1中与的数量关系是______________．【结论探索】（2）图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长．

2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列四个数中，属于有理数的是（

）A． B． C．π D．【答案】B【分析】根据无理数和有理数的定义进行判断即可．【详解】解：是无理数；是有理数；π是无理数；是无理数，故选：B．【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．2．下列计算不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的运算法则进行计算后判断即可；【详解】A，计算正确，不符合题意；B8×10×5＝400，计算不正确，符合题意；C，计算正确，不符合题意；D4-(-5)×3＝4+15=19，计算正确，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了有理数乘方以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键.3．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列绿色食品、回收、节能、节水四个节能环保标志中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．4．下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可；【详解】解：，A错误；，B错误；，D错误；故选C.【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键.5．若一次函数y＝kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则函数y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，b＜0，∴﹣k＜0，∴y＝bx﹣k的图象经过第二、三、四象限．结合函数图象得到C选项符合题意．故选C．【点睛】解答本题的关键是注意掌握函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．6．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7．因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．【详解】解：==．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是准确掌握提取公因式和公式法，熟练进行因式分解．8．2023年上半年江西进出口总值3312.3亿元，同比增长6.3%，居全国第十位．今年以来，在全球经济增长放缓、外部需求走弱的大背景下，江西外贸却能保持稳中有进、稳中提质．将3312.3亿用科学记数法表示应为．【答案】【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：∵3312.3亿，∴将3312.3亿用科学记数法表示应为；故答案为．9．若一元二次方程的两根分别为，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，∴，，∴．故答案为：．10．，两市相距200千米，甲车从市到市，乙车从市到市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快12千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是千米/小时，则根据题意，可列方程.【答案】【分析】利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．【详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：故答案为：.【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．11．如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含的式子表示）【答案】【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用扇形面积公式即可求出【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点∴；设，在中：在中：由①②得：扇形面积：（cm2）故答案为：【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出的度数12．如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是时，与全等．

【答案】或/3或2【分析】根据题意设运动时间为，点的速度为，根据全等三角形的判定方法，分类讨论：①当时，，；②当时，，；根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，点的速度为，∴点从点到点的时间为，∴，，，①当时，，，∴，解得，，∴，∴，即点的速度为；②当时，，，∴，解得，，∴，∴，即点的速度为；综上所述，当点的运动速度是为或时，与全等，故答案为：或．【点睛】本题主要考查动点与几何图形，三角形全等的判定和性质的综合，理解动点的运动规律，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13．（1）解方程

（2）计算：【答案】（1）x1=2，x2=-1；（2）【分析】（1）利用十字相乘法对一元二次方程因式分解，进而即可求解；（2）先求特殊角三角函数，进而即可求解．【详解】（1），(x-2)(x+1)=0，x-2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=-1；（2）原式==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及特殊角三角函数的运算，掌握十字相乘因式分解法以及特殊角三角函数值，是解题的关键．14．已知：如图，，点、在线段上，与交于点，且，．求证：．

【答案】见解析【分析】先证明，再利用证明即可证明．【详解】证明：，，即，在与中，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有．15．如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．

(1)在图中，在上找一点F，使；(2)在图中，在上找一点G，使．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接即可完成作图；（2）连接即可完成作图．【详解】（1）解：如图1，即为所求

（2）解：如图2，即为所求．

【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键．16．足球比赛中，为了使参赛两队的球服颜色不同，规定：一个球队一般准备三套不同颜色的球衣，赛前参赛两队抽签选择主队和客队的身份，由主队先选择球衣颜色后，另一支球队选择不同颜色的球衣．现A、B两队都准备了红、白、黄三种颜色的球衣．(1)求A队选择红色球衣的概率；(2)用列举法求出两队球衣颜色为一红一白的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；（2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到两队球衣颜色为一红一白的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．【详解】（1）解：∵一共有红、白、黄三种颜色的球衣，A队选择每一种颜色的球衣的概率相同，∴A队选择红色球衣的概率为；（2）解：A队选择红色，B队选择黄色；A队选择红色，B队选择白色；A队选择黄色，B队选择红色；A队选择黄色，B队选择白色；A队选择白色，B队选择红色；A队选择白色，B队选择黄色；∴一共有六种等可能性的结果数，其中两队球衣颜色为一红一白的结果数有2种，∴两队球衣颜色为一红一白的概率为．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．17．如图，反比例函数的图象与正比例函数y=2x相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，AB⊥BC．(1)求反比例函数解析式及点B坐标；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)，B（-1，-2）(2)5【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定A（1，2），再把A点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝，然后根据中心对称求得B点坐标；（2）作BD⊥AC于D，如图，利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后在Rt△ABD中利用正切的定义即可求得tanC的值，根据勾股定理求得AB，通过证明△ADO～△ABC，根据相似三角形的性质即可求得△ABC的面积．【详解】（1）解：∵点A(1，a)在y＝2x上，∴a＝2，∴A(1，2)，把A(1，2)代入得k＝2∴反比例函数的解析式为，∵A、B两点关于原点成中心对称，∴B(﹣1，﹣2)；（2）解:如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，∵AB⊥BC．∴∠ABC＝90°，∠BHC＝90°，∴∠C＝∠ABH，∵BH∥x轴，∴∠AOD＝∠ABH，∴∠AOD＝∠C，∴，∵A(1，2)，B(﹣1，﹣2)，∴AH＝4，BH＝2，OD=1，AD=2，∴，S△AOD＝=1，∵∠AOD＝∠C，∠ADO＝∠ABC＝90°，∴△ADO～△ABC，∴有，即，解得S△ABC＝5．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的定义，掌握反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的定义，证得△ADO～△ABC是解题的关键．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级组同学的分数分别为：，，，；八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率七八(1)填空：______，______，______；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）(3)该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．【答案】(1)，，(2)八年级对“防灾减灾”的了解情况更好，理由见解析(3)两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方法是解题的关键．（1）根据众数，中位数的概念，求得，，利用七年级、两类的人数和除以总人数求得，即可解答；（2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可；（3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第和个数为和，，八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为，，七年级学生的优秀率为，故答案为：，，；（2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为为大于七年级竞赛成绩的中位数，八年级对“防灾减灾”的了解情况更好；（3）解：（人），两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人．19．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）

(1)连接，求证：；(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：）【答案】(1)见解析(2)雕塑的高约为米【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴∵即∴即∴；（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，∴，∴∴在中，，∴（米）．答：雕塑的高约为米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20．为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．(1)求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；(2)我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？【答案】(1)10元，14元(2)有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用：（1）设我校初一年级订购《西游记》的单价是x元，则订购《朝花夕拾》的单价是元，利用数量总价单价，结合花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入1.4x中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价；（2）设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设我校初一年级订购《西游记》的单价是x元，则订购《朝花夕拾》的单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．答：我校初一年级订购《西游记》的单价是10元，订购《朝花夕拾》的单价是14元；（2）解：设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据题意得：，解得：，又∵m为正整数，∴m可以为3，4，5，6，∴这个班共有4种订购方案，方案1：订购3本《朝花夕拾》，7本《西游记》，所需总费用为（元）；方案2：订购4本《朝花夕拾》，6本《西游记》，所需总费用为（元）；方案3：订购5本《朝花夕拾》，5本《西游记》，所需总费用为（元）；方案4：订购6本《朝花夕拾》，4本《西游记》，所需总费用为（元）．∵，∴按照这些方案订购最低总费用为112元．答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元．五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，，请直接写出_____．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】此题考查了圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键．（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形转换得，即可证明结论；（2）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化即可证明结论；（3）根据垂径定理得到点为的中点，设，则，利用勾股定理列方程计算得出，再利用中位线的性质即可求出的长．【详解】（1）连接，

∵是直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）∵点是中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）如图：设交于点H，

∵，，∴，∴；设，则为，根据勾股定理，得，解得：，∴，∵是的中位线，∴．故答案为：．22．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标；(3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）由点、点的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．（2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标．（3）若是等腰三角形，通过作图画两圆一线来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标．【详解】（1）解：将点，点代入抛物线解析式，由对称轴，得解得，抛物线解析式为：．（2）将代入抛物线解析式得：，顶点，，设直线解析式为：，将点，点代入，得解得，直线的解析式为：如图，设直线与对称轴的交点为，将代入点，，，设中边上的高为，则，如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且，，，是等腰直角三角形，点在过点与直线平行的直线上，即将直线向下平移个单位长度即可得到直线，直线的解析式为：联立，解得：或点的坐标为，．

（3）点与点关于对称轴对称，点，点，①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．由图知：点位于点上方时，、、三点共线，所以此点舍去；点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为．

②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．在中，，，此时点的坐标为或．

③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．连接，为线段的垂直平分线，，点为中点，，，由中点坐标公