相似矩阵与矩阵的对角化

相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵的概念一、定义6-5c对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使P－1AP=B

成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B.矩阵的相似是一种等价关系，满足以下三个性质：（1）反身性：A与自身相似.（2）对称性：若A与B相似，则B与A相似.（3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.相似矩阵A与B必有相同的特征值，这是因为B－λE=P－1AP－P－1

(λE)P=P－1(A－λE)P=P－1A－λEP=A－λE

即相似矩阵必有相同的特征多项式，从而必有相同的特征值.若矩阵能相似于一个对角阵，则称A可对角化.若方阵A可对角化，则可大大简化许多运算过程，但并不是每个矩阵都能对角化.下面从特征向量角度刻画矩阵可对角化的条件.矩阵可对角化的条件二、定理6-11n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明

必要性：设方阵A可对角化，即A与对角阵Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)相似，则有即有AP=PΛ设P=(p1,p2,…,pn)，则有于是有Api=λipi（i=1,2,…,n）.因为P是可逆矩阵，故上式中的p

i均为非零向量，且p1,p2,…,pn线性无关；按定义知，这些pi分别是矩阵A的属于特征值λi(i=1,2,…,n)的线性无关的特征向量.充分性：若A有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn，有Api=λipi（i=1,2,…,n）将这n个向量等式合并成一矩阵等式，有若记Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，P=(p1,p2,…,pn)，则P≠0.上式可写为AP=PΛ即A=PΛP－1（6-10）证毕.从以上的证明过程可见，若把建立分解式（6-10）称为将A对角化，那么，矩阵对角化的主要工作在于求出其特征值与特征向量.但是，实际上怎样判断一给定矩阵是否可对角化呢？或者，已知矩阵可对角化，又说明什么问题呢？这就需要在定理6-11的基础上进一步探讨特征值、特征向量的性质，从而有可能对矩阵对角化有更深的认识.定理6-12若λ1,λ2,…,λm是n阶方阵A的互不相等的特征值，则其对应的特征向量p1,p2,…,pm线性无关.证明

用数学归纳法证明.当m=1时，因特征向量p1≠0，故只含一个向量的向量组p1线性无关.假设当m=k－1时结论成立，要证当m=k时结论也成立.即假设向量组p1,p2,…,pk－1线性无关，要证向量组p1,p2,…,pk线性无关.为此，令x1p1+x2p2+…+xk－1pk－1+xkpk=0（6-11）用A左乘式（6-11），得x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12）式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关.因此有以下定理：定理6-13若n阶方阵A具有n个互不相等的特征值，即特征方程只有单根，则矩阵A必可对角化.注意到特征方程只有单根是矩阵A可对角化的充分条件，特征方程有重根时，矩阵A也有可能是可以对角化的.【例6-9】所以A的特征值为λ1=－2,λ2=λ3=0.对λ1=－2，解方程组(A+2E)x=0，由对于λ2=λ3=0，解方程组(A－0E)x=0.由【例6-10】解

（1）经计算得A的特征值为λ1=1,λ2=λ3=2，且有三个对应的线性无关的特征求得应用实例三、在涉及矩阵的问题（工程问题、经济问题等）中，当出现的矩阵可对角化时，常可通过矩阵的相似标准形分解，找到解决问题的简便途径.在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有Ak=(PΛP－1)…(PΛP－1)=PΛkP－1

因对于对角阵

Λ=diag(λ1,…,λn)

有

Λk=diag(λk1,…,λkn)

故

Ak=PΛkP－1=Pdiag(λk1,…,λkn)P－1

作为计算矩阵高次幂的一个实例，我们看如下的问题.设某城市共有30万人从事农、工、商各行业的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，而有6万人经商.（2）在从农人员中，每年约有20%改为从工，10%改为经商.（3）在从工人员中，每年约有20%改为从农，10%改为经商.（4）在经商人员中，每年约有10%改为从农，10%改为从工.

现预测一两年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数的发展趋势.【例6-12】解

若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人员总数（单位：万人），则已知而欲求x1,x2，并考察在n→∞时，xn的发展趋势.引进三阶矩阵A=（aij），用以刻画从事各业人员间的转移.例如，元a23=0.1表明每年有10%的从工人员改去经商.于是有由矩阵乘法，得（因“转移矩阵”A恰为对称矩阵）因A的各行元之和均为1，故A具有一明显的特征值λ1=1，以及对应的特征向量ξ1=1,1,1T

事实上，A的特征多项式为故A的特征值为λ1=1,λ2=0.7,λ3=0.5.若分别求出规范特征向量p1，p2，p3，并令P=p1,p2,p3，则有A=PΛP－1

从而有An=PΛnP－1

而从xn=Anx0

的表达式，可做出必要的分析，其计算细节留给读者作为练习.现给出另一途径的分析过程.从可知，当n→∞时，Λn将趋于故知A将趋于

因而xn将趋于一确定的向量x*，因xn－1亦必趋于x*.由