简单有理分式函数的积分

简单有理分式函数的积分一、有理函数的积分

有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和有理分式两类：

有理整式f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;

有理分式

其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实数，并且a0≠0,b0≠0.在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为假分式.利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理整式和一个真分式之和.例如，有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.(4-10)一、有理函数的积分最简分式的积分1.

下列四类分式（1）Ax－a;（2）A(x－a)n;（3）Mx+Nx2统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数；A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.下面先讨论这四类最简分式的不定积分.前两类最简分式的不定积分可以由基本积分公式直接得到.对第三类最简分式，将其分母配方得

一、有理函数的积分

一、有理函数的积分

上式最后一个不定积分的求法在上节的例8中已经给出.综上所述，最简分式的不定积分都能被求出，且原函数都是初等函数.根据代数学的有关定理可知，任何真分式都可以分解为上述四类最简分式的和，因此，有理函数的原函数都是初等函数.一、有理函数的积分有理分式化为最简分式的和2.设给定真分式P(x)/Q(x)，要把它表示为最简分式的和，首先要把分母Q(x)在实数范围内分解为一次因式与二次因式的乘积，再根据这些因式的结构，利用待定系数法确定所有系数.设多项式Q(x)在实数范围内能分解为如下形式：Q(x)=b0(x－a)α…(x－b)β(x2+px+q)λ…(x2+rx+s)μ,一、有理函数的积分

其中Ai,…,Bi,Mi,Ni,…,Ri及Si等都是常数.对式（4-16），应注意到以下两点：（1）若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k个最简分式之和：其中A1,A2,…,Ak都是常数.一、有理函数的积分（2）若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：M1x+N1(x2+px+q)k+M2x+N2(x2+px其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常数.

（4-17）其中A,B为待定常数，可用如下方法求出待定系数.一、有理函数的积分

第一种方法式（4-17）两端去分母后，得x+3=A(x－3)+B(x－2),整理得x+3=A+Bx－3A+2B.（4-18）因为这是恒等式，等式两端x的系数和常数必须分别相等，于是有从而解得A=－5,B=6.一、有理函数的积分第二种方法在恒等式（4-18）中，代入特殊的x值，从而求出待定的常数.在式（4-18）中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6.同样得到又如，真分式11+x1+x2可分解为11+x1+x2=A1+x+Bx+C1+x2，两端去分母后，得1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，一、有理函数的积分整理得1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有一、有理函数的积分有理函数积分举例3.

去分母,得2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D)=Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),【例1】一、有理函数的积分比较两端同次幂系数,得A=2,B=0,C=－1,D=－1.从而一、有理函数的积分【例2】一、有理函数的积分

一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分三角函数有理式的积分1.由sinx，cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数，记为R(sinx,cosx).三角函数的积分比较灵活，方法很多.在换元积分法和分部积分法中介绍过一些方法.这里主要介绍三角函数有理式的积分方法，其基本思想是通过适当的变换，将三角有理函数化为有理函数的积分.二、可化为有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分【例3】二、可化为有理函数的积分【例4】二、可化为有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分简单无理函数的积分2.

求简单无理函数的积分，其基本思想是利用适当的变换将其有理化，转化为有理函数的积分.下面通过例子来说明.二、可化为有理函数的积分【例5】【例6】二、可化为有理函数的积分三、积分表的使用本章介绍了不定积分的概念及计算方法.必须指出的是：初等函数在它的定义区间上不定积分一定存在，但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事.事实上，有很多初等函数，它们的不定积分是存在的，但它们的不定积分却无法用初等函数表示出来，如同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做，而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技