极限存在准则两个重要极限

极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则夹逼准则1.定理18(数列极限夹逼准则)如果数列{xn}，{yn}及{zn}满足下列条件：(1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3,…)；

一、极限存在准则证因yn→a，zn→a，故对于ε>0，正整数N1与N2，当n>N1时恒有yn－a<ε，当n>N2时，恒有zn－a<ε.取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有yn－a<ε，zn－a<ε,

即a－ε<yn<a+ε，a－ε<zn<a+ε,

从而，当n>N时，恒有a－ε<yn≤xn≤zn<a+ε,

即xn－a<ε，所以limn→∞

xn=a.

一、极限存在准则利用定理18求极限，关键是构造出极限相同且易求的两个数列yn与zn.注一、极限存在准则【例29】一、极限存在准则上述关于数列极限的存在准则可以推广到函数极限的情形.一、极限存在准则定理19(函数极限夹逼准则)如果(1)当0<x－x0<δ(或x>M)时,有g(x)≤f(x)≤h(x)；一、极限存在准则单调有界准则2.定义13若数列{xn}满足条件x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…，则称数列{xn}是单调增加的；若数列{xn}满足条件x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…，则称数列{xn}是单调减少的.单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.一、极限存在准则定理20(单调有界准则)单调有界数列必有极限.

设数列{xn}单调增加，且xn≤M.从图2-9可以看出，因为数列单调增加又不能大于M，故该数列某项以后的所有项必然集中在某数a(a≤M)的附近，即对ε>0，必然存在正整数N与数a，使当n>N时，恒有xn－a<ε，从而数列{xn}的极限存在.

图2-9一、极限存在准则在第一节中曾证明：收敛的数列必定有界.但也指出有界的数列不一定收敛.而定理20表明，若一数列不仅有界，而且单调，则该数列一定收敛.值得注意的是，定理20中给出的单调有界的条件是数列收敛的充分条件，而不是必要条件.一、极限存在准则【例30】一、极限存在准则二、两个重要极限数学中常常会对一些重要且有典型意义的问题进行研究并加以总结，以期通过对该问题的解决带动一类相关问题的解决，下面介绍的重要极限就体现了这样的一种思路，利用它们并通过函数的恒等变形与极限的运算法则就可以使得两类常用极限的计算问题得到解决.

二、两个重要极限1.证在图2-10所示的单位圆中,设∠AOB=x,先假设0<x<,点A处的切线与OB的延长线相交于点D，又BC⊥OA，故

sinx=CB,x=AB,

tanx=AD.图2-10二、两个重要极限易见，三角形AOB的面积<扇形AOB的面积<三角形AOD的面积，所以二、两个重要极限二、两个重要极限【例31】二、两个重要极限【例32】【例33】二、两个重要极限2.证先考虑x取正整数n而趋于+∞的情形.二、两个重要极限同样的，二、两个重要极限比较xn与xn+1的展开式的各项可知，除前两项相等外，从第三项起，xn+1的各项都大于xn的对应项，而且xn+1还多了最后一个正项，因而xn+1>xn,即{xn}为单调增加数列.因为二、两个重要极限故xn有上界.根据定理20，limn→∞

xn存在，常用字母e表示该极限值，即下面考虑x取任意正实数而趋于+∞的情形.二、两个重要极限对于任何正实数x，总可找到正整数n，使得n≤x<n+1，当x→+∞时，有n→∞，因为二、两个重要极限所以，由定理18得二、两个重要极限利用复合函数的极限运算法则，若令y=1x，则第二个重要极限变为注二、两个重要极限【例34】【例35】三、柯西极限存在准则定理21(柯西极限存在准则)数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m>N，n>N时，恒有xm－xn<ε.

证必要性.设limn→∞

xn=a，则对于ε>0，由数列极限的