高斯公式斯托克斯公式

高斯公式斯托克斯公式一、高斯公式平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示.下面要介绍的高斯公式则揭示了封闭曲面上的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系.可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.一、高斯公式定理7设空间区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数Px,y,z，Qx,y,z，Rx,y,z在Ω上具有一阶连续偏导数，则有(10-13)

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，式(10-13)称为高斯公式.证先证明一、高斯公式设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过Ω内部且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个，即其边界曲面Σ由曲面Σ1：z=z1x,y,x,y∈Dxy，Σ2：z=z2x,y,x,y∈Dxy

及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成(见图10-14)，其中Σ1取下侧，Σ2取上侧，Σ3取外侧，z1x,y≤z2x,y.于是按三重积分的计算方法，有图10-14一、高斯公式一、高斯公式一、高斯公式对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.注一、高斯公式【例20】一、高斯公式【例21】二、斯托克斯公式平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示，沿空间封闭曲面的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系可用高斯公式来表示，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面Σ的曲面积分与沿Σ的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与其边界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同，这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.二、斯托克斯公式定理8设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有式(10-14)称为斯托克斯公式.斯托克斯公式还可写为其中n=cosαi+cosβj+cosγk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法向量.(10-14)二、斯托克斯公式证先证明(10-15)假定Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设Σ为曲面z=fx,y的上侧，Σ的正向边界曲线Γ在xOy面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy.由第二类曲线积分的定义及格林公式,有(10-16)二、斯托克斯公式(10-17)二、斯托克斯公式如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式(10-15)两端同时改变符号，因此式(10-15)仍成立.同样可证将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(10-14).若曲面与平行于z轴的直线交点多于一个，则可用一些光滑曲线把Σ分成若干小块，使每小块能用这种形式来表示，因而这时式(10-14)也成立.(10-18)(10-19)三、空间曲线积分与路径无关的条件在第三节中，得到了平面曲线积分与路径无关的一些等价条件，在这里可借助于斯托克斯公式得到空间曲线与路径无关的等价条件.三、空间曲线积分与路径无关的条件定理9设空间区域G是一维单连通区域，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在G内具有一阶连续偏导数，则下列条件等价：(1)在G内处处成立.(2)对G内任一分段光滑的封闭曲线Γ，有空间曲线积分∮ΓPdx+Qdy+Rdz=0.(3)对G内任一分段光滑的曲线Γ，曲线积分∫ΓPdx+Qdy+Rdz与路径无关，仅与起点、终点有关.(4)Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数ux,y,z的全微分,即

du=Pdx+Qdy+Rdz.证明略.三、空间曲线积分与路径无关的条件G为空间一维单连通区域是指G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面.注三、空间曲线积分与路径无关的条件当条件(4)满足时，函数u(不计一常数之差)可用