含参变量的积分

含参变量的积分第五节含参变量的积分本节不仅给出含参变量积分确定的函数的连续性、可微性、二次积分可交换性、求导公式，还通过例子进一步说明如何用这些性质计算一些特殊类型的定积分.设f(x,y)是定义在矩形区域［a,b］×［c,d］上的连续函数，在a,b上任意取定x的一个值，于是f(x,y)是变量y在c,d上的一个一元连续函数，从而积分存在，这个积分依赖于取定的x值.当x的值改变时，一般来说这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在a,b上的x的函数，记为φ(x)，即

（9-19）其中x在积分过程中是一个常量，称为参变量，称为含参变量x的积分.下面讨论函数φ(x)的一些性质.第五节含参变量的积分如果函数f(x,y)在矩形［a,b］×［c,d］上连续，那么函数φ(x)在［a,b］上也连续.定理1第五节含参变量的积分证明由于f(x,y)在［a,b］×［c,d］上连续，从而一致连续，因此对于

使得对于［a,b］×［c,d］内的任意两点，当时，有特别地，任取时，对于均有第五节含参变量的积分于是,由式(9-19)有所以φ(x)在点x0连续.由点x0的任意性可知,φ(x)在［a,b］上连续.下面研究φ(x)的可导性.第五节含参变量的积分如果函数f(x,y)及其偏导数fx(x,y)都在矩形［a,b］×［c,d］上连续，那么函数φ(x)在［a,b］上可导，且

（9-20）定理2第五节含参变量的积分证明对于a,b内任一点x，设x+Δx∈a,b，则由拉格朗日中值定理及fxx,y在a,b×c,d上连续（从而一致连续），对0,只要

时，有其中θ∈0,1.因此故公式(9-20)成立.第五节含参变量的积分若函数f(x,y)在矩形［a,b］×［c,d］上连续，则定理3第五节含参变量的积分证明令由定理1知上连续，从而

令由于函数上连续，所以都在［a,b］×［c,d］上连续，由定理2知第五节含参变量的积分

于是,因此对(C为常数).又F(a)=0=G(a)，所以特别地，F(b)=G(b)，即第五节含参变量的积分以上所讨论的含参变量积分，其上、下限c与d都为常数.实际上还会遇到上、下限依赖于x的情况，即形如的含参变量x的积分.下面考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.第五节含参变量的积分如果函数f(x,y)在矩形［a,b］×［c,d］上连续，函数u(x)与v(x)在区间［a,b］上连续，且

c≤u(x)≤d,c≤v(x)≤d(a≤x≤b).(1)函数Φ(x)在［a,b］上也连续.(2)若fx(x,y)也在矩形［a,b］×［c,d］上连续，函数u(x)与v(x)在区间［a,b］上可导，则函数Φ(x)在［a,b］上也可导，且

（9-21）定理4第五节含参变量的积分证明

(1)对于x,x+Δx∈［a,b］，有

（9-22）当Δx→0时，式(9-22)右端的第一个积分趋近于零（与证明定理1时同样的理由）.由积分中值定理和函数f(x,y)的连续性可知第五节含参变量的积分其中M是fx,y在［a,b］×［c,d］上的最大值.根据函数u(x)与v(x)在区间［a,b］上连续的假定，由以上两式可见，式(9-22)后两个积分都趋近于零，故当Δx→0时，所以函数Φ(x)在［a,b］上连续.第五节含参变量的积分(2)对于x,x+Δx∈［a,b］，由式（9-22）得

（9-23）当Δx→0时，与证明定理2时同样的理由,式(9-23)右端的第一个积分对于式(9-23)右端的第二项，应用积分中值定理得第五节含参变量的积分其中ξ在v(x)与v(x+Δx)之间.当Δx→0时，于是同理可证，当Δx→0时，因此，在式(9-23)的两边取极限（当Δx→0时），即得公式（9-21）.公式(9-21)称为莱布尼茨公式.第五节含参变量的积分设

解由莱布尼茨公式，得【例1】第五节含参变量的积分求

解因为所以这里函数f(x,y)=xy在矩形［0,1］