6.4.3.2正弦定理【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精-品课件+分层练习人教A版2019必修第二册

6.4.3.2正弦定理余弦定理

已知三边,怎样求三个角呢？推论：CBAbac温故知新回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？复习导入在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?所以CD=asinB=bsinA,即同理可得DCabAB图1过点C作CD⊥AB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,探究一且仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2探究二正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即思考是否可以用其他方法证明正弦定理?

方法二：如图，过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°A’即:BCAcba故:同理:即:若A是钝角呢？方法三在锐角三角形中由向量加法的三角形法则BAC在钝角三角形中ABC具体证明过程马上完成!正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即公式变形：a=2RsinAb=2RsinBc=sinCACB1正弦定理已知两边和其中一边的对角,求其他边和角例2

已知a=16，b=，A=30°

.求角B，C和边c已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时B16300ABC16316解：∵正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角正弦定理的常见变形巩固提升：（1）在中，一定成立的等式是（

）

C（2）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三角形D

例4在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．互动探究若本例中的条件“sinA＝2sinBcosC”改为“sin2A＝2sinBsinC”，试判断△ABC的形状．解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2.∴A＝90°.∵sin2A＝2sinBsinC，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.∴b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形．三角形面积公式

例5在中，，求的面积S．

hABC三角形面积公式解：∴由正弦定理得

三角形面积公式变式训练AABBCCaabbABCabAB1B2CaabABCba=bsinAABCba<bsinA方法二：画圆法

若A为锐角时:若A为直角或钝角时:已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3，求B;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3，求B;（3）b＝20，A＝60°，a＝15，求B.60°ABCb

例6在

ABC中，已知b＝20，A＝60°，

思考：当b＝20，A＝60°，a＝？时，有1解、2解、无解.（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°应舍去.（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3B＝90°.sinB＝＝1，bsinAa（3）b＝20，A＝60°，a＝15.2√33

∵>1，∴无解.sinB＝＝，bsinA

a2√33

思考：当b＝20，A＝60°，a＝？时，求角B

有1解