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微分方程第十二章—积分问题—微分方程问题

推广1/15/2025高等数学课件微分方程的基本概念机动目录上页下页返回结束第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章1/15/2025高等数学课件引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.机动目录上页下页返回结束1/15/2025高等数学课件常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束1/15/2025高等数学课件引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束1/15/2025高等数学课件例1.

验证函数是微分方程的解,的特解.解:

这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件机动目录上页下页返回结束1/15/2025高等数学课件求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为

Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第二节目录上页下页返回结束

P263(习题12-1)1;2(3),

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