多元函数微分学2

以上公式中的导数称为全导数.6.复合函数的求导法则（链式法则）链式法则如图示解解例3.设f，g为连续可微函数求解设解令记同理有

练习设其中f具有连续偏导数，求解解2.设f具有连续偏导数，求7.隐函数的偏导数隐函数的求导公式（1）、一个方程,一个自变量的情形解法（1）公式令则法（2）两边求导法则（2）、一个方程,两个自变量解令整理得解切平面的法向量设曲面方程为切平面方程为8.曲面的切平面与法线法线方程为特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.9.二元函数无条件极值(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函数取得极值的条件注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面；

2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.驻点极值点如何判定驻点是否为极值点？注意：求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.3、多元函数的最值例1（03四01）某厂生产某产品甲和乙，出售的单价分别为10元和9元，生产甲产品x件与生产乙产品y件的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元，问两种产品的产量各多少件时能够取得最大利润？解：利润=总售价-总费用L(x,y)=(10x+9y)-(400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2))唯一驻点x=120,y=80第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为m．故M=25，m=9．例2:求函数z=f(x,y)=x2+4y2+9在区域D：x2+y2≤4上的最大值M和最小值m.解:第一步，求f在域内可能极值点函数值:

fx(x,y)=2x=0，fy(x,y)=8y=0

驻点(0,0),f(0,0)=9.第二步，求f在边界上的可能最值点．在边界x2+y2=4上，z=3y2+13，—2≤y≤2，

z’=0=>y=0(0,0),(0,-2),(0,2)例3设为其极值点，求

解：实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．10、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．（01四01）某工厂生产某产品需两种原料A、B，产品的产量z与所需A原料数x及B的原料数y的关系式为z=x2+8xy+7y2,已知A原料的单价为1万元/吨，B的单价为2万元/吨，现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？法一（化条件极值为无条件极值）将x+2y=100代入z=x2+8xy+7y2

Z=1002+400y-5y2Z’=0=>y=40唯一驻点购置x=20,y=40原料，才能使该产品的产量最大（01四01）某工厂生产某产品需两种原料A、B，产品的产量z与所需A原料数x及B的原料数y的关系式为z=x2+8xy+7y2,已知A原料的单价为1万元/吨，B的单价为2万元/吨，现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？法二（条件极值拉格朗日乘数法）

L=x2+8xy+7y2+λ(x+2y-100）x=20,y=40解则

2x=3y,y=2z解：(法一）设直角三角形的两直角边分别为x和y，则x2+y2=a2L=x+y+a=x++aL′=1-由L′=0得：x=y=∴当两直角边相等且等于时周长最大。例2.在斜边之长为a的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形解：(法二）设直角三角形的两直角边分别为x和y，则x2+y2=a2L=x+y+a+λ（x2+y2-a2)∴当两直角边相等且等于时周长最大。例2.在斜边之长为a的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形例3.证明点（x0,y0)到直线ax+by+c=0的（最短）距离为证明：设则问题就是在条件ax+by+c=0下求f(x,y)的最小值。构造函数例4解分析:得例6：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为U(x,y)=lnx+lny

．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实