24.1.4《圆周角》+教学设计+++2024-2025学年人教版九年级数学上册

教学设计课题24.1.4圆周角课型新授课☑复习课□试卷讲评课□其它课□教学内容分析本节课主要介绍圆周角的概念、圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质。与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来，圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，既是圆心角、弧、弦之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质在推论和计算，教学难点是圆周角定理的分情况证明.学情分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系；圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部。所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法，分情况证明，学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。因此，教学的关键是：①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面证明中的分类讨论作好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想它们之间的数量关系，然后教师再利用计算机软件来验证，让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系-圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形。学习目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论．（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法．重难点（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论．（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法．评价任务（1）能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理或推论解决简单问题.（2）能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.教学评活动过程教师活动学生活动环节一：回顾复习教师活动请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．学生活动口答设计意图：通过复习圆心角的概念，引出圆中另一类重要的角圆周角环节二：教师活动活动1.理解圆周角的概念问题1：如图∠BAC的顶点和边有哪些特点？练习：课本88页练习1活动2.探索圆周角定理问题2：在图2中，∠ACB是圆周角，弧AB所对的圆心角∠AOB，分别测量∠ACB和∠AOB的度数，他们之间有什么关系？追问1.在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？活动3.证明圆周角定理问题3：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？追问1：在圆上任取弧BC，画出圆心角∠BAC和圆周角∠BOC，圆心角和圆周角有几种位置关系？追问2：在第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？追问3：在②、③的情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？归纳：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半活动4.探究特殊情况，获得推论问题4：我们知道，一条弧所可以对着不同的圆心角，这些角之间有什么关系？也就是说同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？问题5：半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？活动5.应用圆周角定理与推论下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1.如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC,AD,BD的长。例2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．学生活动学生回答，归纳圆周角的概念独立做，展示学生动手测量，猜想结论学生动手操作，讨论交流，归纳总结圆心角和圆周角的三种位置关系：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部。先证特殊情况，圆心在圆周角的一边上另外两种情况在老师的提示下完成证明学生把定理转化为符号语言学生通过思考老师的问题猜想结论并证明学生独立做，展示，点评，反思设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解；通过让经历学生画图、测量、猜想、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的基本性质，使学生充分认识证明的必要性，两个例题很好的应用了今天学习的定理环节三：课堂练习教师活动88页练习学生活动独立做，展台展示、点评设计意图：应用圆周角定理及推论解决问题，巩固所学的内容.环节四：课堂小结教师活动1.本节课学习了那哪些主要内容？2．我们是如何证明圆周角定理的？在证明的过程中用到了哪些思想方法？学生活动学生回答问题设计意图：通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认识数学思想、数学方法，积累数学活动经验.板书设计24.1.4圆周角证明圆周角定理的三个图形例1例2圆周角定理推论1推论2推论3作业与拓展学习设计1．教材P9013、14．2．选用课时作业设计．一、选择题1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140°B．110°C．120°D．130°(1)(2)(3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．A．3B．3+C．5-D．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．答案:一、1．D2．B3．D二、1．120°或60°2．90°3．三、1．2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=3．（1）略（2）4，（-2，2）特色学习资源分析、技术手段应用说明本节课主要让学生动手画图、测量、猜想并证明，媒体出示例题增加了课容量，图形的变换形象直观，利于几何教学。圆周角定理的证明在学生猜想的基础上通过在线画板的演示，使学生看到猜想的正确性.教学反思与改进

一、优点1.教学环节设计合理，尤其是对圆周角定理证明的处理。考虑到定理的后两种图形证明难度大，考试要求低，我采用了留作思考，个别点拨的方法，帮助学困生和中等生跳过这个“障碍",使得教学重难点没有被冲淡，教学目标比较明确，课时任务顺利完成。

2.做到了精讲点拨。在讲台上说的每一句话都尽量做到学生无法代替，学生能说的老师不说，学生说不出来的老师引导着说，学生没有想到的老师补充着说。而且，我们班的学生基本做到，该做研究时全情投入，该抬头听讲时，集中精神。

3.小组合作使用合理。充分调动小组合作的积极性和有效性，利用角落的一点地方，进行课堂评价，使学生课堂效率和学习积极性大增。

4.多媒体使用得当。媒体出示例题增加了课容量，图形的变换形象直观，利于几何教学。

二、我的不足

1.引入部分的时间过多，使得时间分配不当，