3年高考2年模拟2025版新教材高考数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式讲义新人教A版必修第一册

PAGEPAGE11第1课时基本不等式课标解读课标要求核心素养1.驾驭基本不等式ab≤a+b22.能敏捷运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.(难点)1.通过学习并驾驭基本不等式,培育学生数学抽象素养.2.借助基本不等式的简洁应用,提升学生数学运算、逻辑推理素养.填写下表:ababa+bab与a+b2111141622……1115ab<a+b1115ab<a+b416810ab<a+b2222ab=a+b……………问题1:视察ab与a+b2答案视察得到结论:一般地,假如a>0,b>0,那么ab≤a+b问题2:你能给出它的证明吗?答案用比较法证明:a+b=12[(a)2+(b)2-2a·b=12(a-b)2当且仅当a=b,即a=b时取“=”.1.假如a>0,b>0,那么ab①≤a+b2其中,a+b22.变形:ab≤a+a+b≥2ab,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.思索:不等式a2+b2≥2ab与不等式ab≤a+提示不一样.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,ab≤a+b探究一对基本不等式ab≤a+b2例1(多选)下面给出的四个推导过程正确的是()A.∵a、b为正实数,∴ba+ab≥2B.∵a∈R,a≠0,∴4a+a≥24C.∵x、y∈R,xy<0,∴xy+yx=--xD.不等式a+1a≥2a×1答案AC解析A.∵a、b为正实数,∴ba、abB.∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴B的推导错误.C.由xy<0,得xy、yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,-D.不等式a+1a≥2a故选AC.思维突破1.基本不等式ab≤a+2.对基本不等式的精确驾驭要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a、b都是正数;(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,ab≤a+b2的等号成立,即a=b⇒a+b2=ab;仅当a=b时,a+b1.下列不等式的推导过程正确的是(填序号).

①若x>1,则x+1x≥2x②若x<0,则x+4x=-(-x)③若a,b∈R,则ba+ab≥2答案②解析①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=1x,即x=1时,x+1x≥2的等号成立,因为x>1,所以x+1x>2.③中忽视了利用基本不等式时每一项探究二利用基本不等式比较大小例2若0<a<1,0<b<1,且a≠b,试找出a+b,a2+b2,2ab,2ab中的最大者.解析∵0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴a+b>2ab,a2+b2>2ab,∴最大者应从a+b,a2+b2中选择.∵a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.思维突破利用基本不等式比较实数大小时的留意事项1.利用基本不等式比较大小,要留意视察其形式(和与积).2.利用基本不等式时,肯定要留意条件要满意a>0,b>0.2.比较大小:x2+2答案≥解析x2+2x2+1=x2+1+探究三利用基本不等式证明不等式例3(易错题)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1+1易错辨析:利用基本不等式证明不等式时,易出现的错误有两个,一是不留意基本不等式的运用条件;二是证明步骤不完整,如例3中简洁忘掉说明等号成立的条件.证明∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+b同理,1+1b=2+a∴1+1a1+1b∴1+1a1+1b≥9当且仅当a=b=易错点拨利用基本不等式证明不等式的策略与留意事项(1)策略:从基本不等式和问题的已知条件动身,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最终转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)留意事项:①多次运用基本不等式时,要留意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法;③对不能干脆运用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型后再运用.3.(1)(变结论)例3的条件不变,证明:1a+1b+(2)(变结论)例3的条件不变,证明:a+1a2+证明(1)1a+1b+1ab=1a+1b+∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab∴1a+1b+1ab≥8当且仅当a=b=12(2)由a2+b2-(a+b得a2+b2≥(a∵a+b=1,∴a+1a2=1+a+≥3+2ba·ab22=∴a+1a2+b+1b21.下列不等式成立的是()A.ab≤a2+C.a+b≥2ab D.a+b≤2ab答案Aa2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,ab≤a2+2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()A.a<b<ab<a+b2 B.a<abC.a<ab<b<a+b2 D.ab答案B因为0<a<b,所以由基本不等式得ab<a+b2,且a+又a=aa<ab,故a<ab<a+3.不等式9xA.x=3 B.x=-3 C.x=5 D.x=-5答案C易知不等式等号成立的条件为9x-4.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a答案x<y解析x2=a+b+2ab2,y∵a+b>2ab(a>0,b>0,且a≠b),∴x2<y2,又易知x>0,y>0,∴x<y.5.已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ac+ab+bc.证明a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时,取“=”),c2+a2≥2ac(当且仅当a=c时,取“=”).以上三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2≥ac+ab+bc(当且仅当a=b=c时,取“=”).逻辑推理——利用基本不等式证明不等式已知a、b、c为不全相等的三个正数,求证:b+c-aa素养探究:在利用基本不等式证明不等式时,要进行整体考虑,即先将不等式化简或变形,再依据已知条件构造出基本不等式.该类题目能够很好地提升学生的逻辑推理素养.证明b+c-aa=ba+ca+cb+ab+=ba+ab+∵a、b、c都是正数,∴ba+ab≥2ba·a同理可证:ca+acb+b①②③两边分别相加得ba+ab+又a、b、c不全相等,∴①②③不能同时取到等号,∴④取不到等号.∴ba+ab+即ba+ca+cb+ab+∴b+c-aa已知a>0,b>0,求证:a2b+证明∵a>0,b>0,∴a2b+b≥2a2b·b∴a2b+b+b2a+a≥2a+2b,∴1.(多选)下列条件可使ba+aA.ab>0 B.ab<0C.a>0,b>0 D.a<0,b<0答案ACD2.若b>a>0,且a+b=1,则12,2ab,a2+b2A.b B.a2+b2 C.2ab D.1答案A取b=34,a=14,则2ab=38,a2+b2=1016,b=33.若t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是()A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t答案At-s=a+2b-(a+b2+1)=-(b-1)2≤0,∴s≥t.4.a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是()A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|答案A∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).5.已知a>0,b>0,且ab=2,那么()A.a+b≥4 B.a+b≤4C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4答案C∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab=22,故A,B均错误.a2+b2≥2ab=4,故选C.6.已知函数y=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=答案36解析y=4x+ax≥24x·ax=4a(x>0,a>0),当且仅当4x=ax,即x=a7.已知a>b>c,则(a-b)(b7.答案(a-b解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.∴a-c2=(当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.8.若a>0,b>0,则1a+1b

8.答案≥解析∵a>0,b>0,∴1a+1b≥21ab=2ab,4a+b≤2ab9.已知a>0,b>0,c>0,求证:a2b+b29.证明∵a,b,c,a2b,b2c∴a2b+b≥2a2b2c+c≥2b2c2a+a≥2c2相加得a2b+b+b2∴a2b+b210.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是()A.a2+1>a B.a+1aC.(a+b)1a+1b10.答案ABC由于a2+1-a=a-122由于a+1ab+1b=ab+1ab+ba由于(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.故选ABC.11.已知a>0,b>0,a+b=4,则下列各式中正确的是()A.4ab≥1 B.1a+C.ab≥2 D.1a+1b11.答案A∵a>0,b>0,∴4=a+b≥2ab(当且仅当a=b=2时取“=”),∴0<ab≤4,∴1ab≥14,∴4ab1a+1b=a+b4a+a+12.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是()A.a+b+1ab≥22 B.(a+b)1C.a2+b2ab≥212.答案Da+b+1ab≥2ab+1ab≥22当且仅当a=b=22(a+b)1a+1b=2+ba当且仅当a=b时,等号成立,故B成立;∵a2+b2≥2ab>0,∴a2+b∵a+b≥2ab,a>0,b>0,∴2aba+b≤1,当且仅当a=b时,等号成立,故D不成立.13.某公司第一年产值增长率为p,其次年产值增长率为q,这两年的平均增长率为x,那么x与p+q213.答案x≤p+解析设公司最初产值为a(a>0),则a+ap+a(1+p)q=a(1+x)2,∴a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,∴1+x=(1+p)(1+q)≤1+p14.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是a,b的几何平均数.

14.答案DC解析由已知得tan∠DAC=tan∠CDB,则DCAC=CBDC,所以DC2=AC·CB,所以DC=AC·CB即线段DC的长度是a,b的几何平均数.15.已知a,b都是正数,求证:21a+1b≤ab15.证明∵1a+1b≥21ab,∴11即21a+又∵a+b22=a2∴a+b2≤a2+∴21a+1b≤ab16.(2024山东泰安第四中学高一月考)我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0,a+b2(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,a+b+(2)设a>0,b>0,c>0,利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;(3)设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,利用(1)中猜想的三元基本不等式求(1-a)(1-b)(1-c)的