高二【数学(人教A版)】用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA008学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）教科书书名：选择性必修第一册数学（A版）出版社：人教社出版日期：年月教学人员姓名单位授课教师李健北京景山学校指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理．教学重点：用向量方法解决空间图形的平行问题．教学难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题．教学过程时间教学环节主要师生活动上节课我们学习了如何用空间向量表示空间中的直线和平面，我们发现，直线的方向向量和平面的法向量是表示和确定空间中的直线和平面的关键量.上学期，我们还学过空间中直线、平面的各种位置关系，你能用直线的方向向量、平面的法向量的位置关系刻画空间直线、平面的平行、垂直关系吗？进一步将立体几何与空间向量联系起来.我们先看平行问题.问题1：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？如图，设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以l1//l2⇔u1//u2，而且由向量的共线定理可以得到问题2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量有什么关系呢？如图，设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，.如果，根据直线的方向向量和平面的法向量的定义可知，；反过来，如果，且，那么.所以.由向量的数量积运算，可以得到问题3：由平面与平面的平行关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？如图，设n1，n2分别是平面的法向量.由法向量的定义可知，如果两个平面平行，那么它们的法向量一定平行；反过来，如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面也平行.所以α//β⇔n1//n2.由共线向量定理，可以得到下面我们看一个例题，这个例题是前面我们学习的一个判定定理，当时没有给出证明，例1证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，求证：.分析：证明两个平面平行，如果我们用两个平面平行的定义，就是要证明这两个平面没有公共点，要用反证法，有难度.这也是前面学习时没有给出证明的原因.今天，我们学习了用向量的位置关系刻画平面的位置关系，我们考虑用向的方法解决这个问题，从而完善立体几何定理的学习.用向量法证明两个平面平行，就是要证明这两个平面的法向量平行，或者这两个平面是以同一个向量为法向量的.下面我们就沿着这条思路证明这个定理.设平面的法向量为n，平面内的两条相交直线a，b的方向向量分别为u，v，由已知条件可得即n与平面内的两个相交向量都垂直，由平面向量基本定理可知，平面β内的任意向量都可以由u，v的线性组合表示.因此可以通过向量的运算证明n与平面内的任意一个向量都垂直，即n也是平面的法向量.所以α//β.证明：设平面的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v.因为，所以u⊥n，v⊥n，所以因为，所以对任意点，由平面向量基本定理可知，存在，使得.从而.即.又因为是平面内的任意一个向量，所以，向量n也是平面β的法向量.所以.例1小结：在解决问题过程中，通过向量运算，我们可以证明平面α的法向量与垂直，即与平面β内的任意一个向量都垂直.所以，平面α的法向量也就是平面β的法向量.这样，我们证明了这两个平面平行.在这个过程中，我们通过向量的运算，证明垂直关系.由有限个垂直关系，得到直线与平面内所有的直线都垂直.这是数学学习中常用的方法.向量法可以解决很多立体几何问题，我们再看一个问题..例2：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1？分析：问题是是否存在满足条件的点P，如何找呢？P在哪儿？根据题目条件，点P是否在B1C上？那么，如何表示P？一般情形下，我们假设线段B1C上存在点P，使得A1P//平面ACD1.这样，根据向量共线定理，我们有存在λ∈R如何确定λ?由条件“A1P//面ACD1”,可得A1P∙n=0.利用向量运算，确定与平面ACD1的法向量的数量积等于0的向量.进而求λ，如果λ证明：在长方体中，由同一顶点出发的三条棱两两垂直，所以以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.，依题意，有A(3,0,0),C(0,4,0),D(0,0,2),计算可得.设是平面ACD1的法向量.则有，所以所以取z=6，则x=4，y=3.于是是平面ACD1的一个法向量.又由于A1(3,0,2),C(0,4,0),B1(3,4,2),所以.设点P满足，则.所以.令，得，解得.所以，当，即P为B1C的中点时，A1P//平面ACD1.例2小结：通过本道例题，我们初步体会了用向量法解决立体几何问题的步骤：（一）建系；（二）设点；（三）表示相关向量；（四）进行向量运算；（加减法运算、数乘运算、数量积运算）（五）把向量运算的结果“翻译”为几何结论.课堂小结：知识内容：直线、平面的位置关系向量的位置关系向量的运算向量运算的坐标表示方法：我们通过例题，梳理了用向量法解决立体几何问题的步骤.在此过程中，提高了同学们数学运算、直观想象