2025高考数学一轮复习-第6章-第2节 等差数列及其前n项和【课件】

第六章数列第2节等差数列及其前n项和1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝______.同一个常数Aa＋b2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝_____________.

(2)前n项和公式：Sn＝_______________＝__________.a1＋(n－1)d3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋_________(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则______________.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(n－m)dak＋al＝am＋anmd1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(

)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(

)√√××解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝________.6解得a1＝0，d＝2，故a4＝a1＋3d＝6.

12即n2－7n－60＝0，解得n＝12，或n＝－5(舍去).4.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝________.90解析由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝2a5＋2a5＋a5，得5a5＝450，即a5＝90.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一等差数列基本量的求解例1(1)(2024·北京通州区调研)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(

) A.5n－16 B.5n－11 C.3n－8 D.3n－5A解析设等差数列{an}的公差为d，(2)(2024·河南名校联考)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(

)A.－2 B.2 C.－2或2

D.4B解析设等差数列{an}的公差为d，∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2，∵an>0，∴d>0，∴d＝2.(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(

)A.25 B.22

C.20 D.15C解析由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，感悟提升1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.D解析设等差数列{an}的公差为d，B解析设每人分到的钱数构成的等差数列为{an}，数列{an}的公差d>0，由题意可得，a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝5，故3a1＋3d＝2a1＋7d，5a1＋10d＝5，(3)(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.2解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.考点二等差数列的判定与证明解①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝n2d2，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列.感悟提升1.等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数.(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}为等差数列.(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列.2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可.(2)求{an}的通项公式.考点三等差数列的性质及应用C解析设数列{an}的公差为d，因为a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，所以5a6＝80，a6＝16，(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2－a8＋a15＝5，则S17＝(

)A.87 B.86 C.85 D.84C解析根据等差数列的性质可得a2－a8＋a15＝a9＋a8－a8＝a9＝5，角度2和的性质例4(1)(2024·广州调研)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(

)A.1125块 B.1134块C.1143块 D.1152块B解析记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an}是等差数列，且公差d＝9，a1＝9.设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402，{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列.所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)，所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，则S2k－Sk＝1134.角度3和的最值例5

等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？解法一设公差为d.由S3＝S11，故当n＝7时，Sn最大.法三设公差为d.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大.感悟提升1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.D解析由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.训练3(1)(2024·济南段考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(

)A.－50 B.－60 C.－70 D.－80(2)(2024·武汉联考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且

a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝(

)A.10 B.20 C.25 D.50D解析∵a6＋2a7＋a10＝(a6＋a10)＋2a7＝2a8＋2a7＝20，∴a7＋a8＝10，由已知得a7>0，a8>0，当且仅当a7＝a8＝5时，等号成立.此时数列为常数列，则an＝5，所以S10＝50.(3)(2024·重庆联考)等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是(

)A.d<0 B.a1>0C.当n＝5时，Sn最小

D.当Sn>0时，n的最小值为8D解析对于A，B，由a7＝3a5得a1＋6d＝3a1＋12d，即a1＝－3d，由于{an}是递增数列，所以d>0，a1<0，故A，B错误；对于C，an＝a1＋(n－1)d＝－3d＋(n－1)d＝(n－4)·d，由于d>0，故当n>4，且n∈N*时，an＝(n－4)d>0，当n＝4时，an＝0，当n<4，n∈N*时，an＝(n－4)d<0，因此当n＝3或n＝4时，Sn最小，故C错误；由于d>0，故解得n>7，且n∈N*，故当Sn>0时，n的最小值为8，故D正确.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(2024·福州质检)在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝(

)A.30 B.40

C.60 D.80C解析由等差数列的性质可得a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30，所以a3＋a9＝2a6＝60.2.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(

) A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺

D.2.5尺D解析设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺，所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2.5尺.3.(2024·台州质检)已知数列{an}满足对于∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an，若a2024＝2024，则a1＝(

) A.1

B.2 C.3 D.2022A解析设等差数列{an}的公差为d，令m＝1，则an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1，∵a1为常数，故数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝a1＝d.∴a2024＝a1＋(2024－1)d＝2024a1＝2024，则a1＝1.4.(2024·成都诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝(

)A.－2 B.－1 C.1 D.2B解析设数列{an}的公差为d，则由5S9＝9a9－36得5(9a1＋36d)＝9(a1＋8d)－36，则36(a1＋3d)＝－36，即a1＋3d＝－1，又a4＝a1＋3d，则a4＝－1.5.(2024·河南名校联考)在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(

) A.4或5 B.5或6 C.4

D.5A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，D7.(多选)(2024·石家庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(

) A.d>0

B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0AD解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，对于A，B，因为S11<S10<S12，所以S11－S10＝a11<0，S12－S11＝a12>0，故等差数列的首项为负，公差为正，所以d>0，a1<0，故A正确，B错误；对于C，由S10<S12，可知S12－S10＝a12＋a11>0，8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.200解析依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，9.(2024·枣庄调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S1001＝S1024，则S2024＝________.2解析设等差数列{an}的公差为d，∵S1001＝S1024，∴a1002＋…＋a1024＝23a1013＝0，∴a1013＝a1＋1012d＝0，∵a1＝2，∴1012d＝－2，10.已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为________.29得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化简得an＋1－an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列.解由(1)知数列{an}的公差为1.即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.12.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通项公式；解设{an}的公差为d，解得a1＝13，d＝－2.所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n.(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.13.(多选)(2024·南通联考)已知数列{