高二【数学(人教A版)】空间向量与立体几何小结(1)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA015学科数学年级高二学期一课题空间向量与立体几何小结（1）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师于洪伟北京景山学校指导教师雷晓莉东城区教师研修中心教学目标教学目标：梳理空间向量与立体几何的知识和方法教学重点：梳理运用空间向量研究立体几何的过程教学难点：梳理运用空间向量研究立体几何的过程教学过程时间教学环节主要师生活动梳理研究空间向量的过程梳理运用空间向量研究立体几何的思路问题1空间向量与平面向量有哪些共性和差异？共性：向量是具有大小和方向的量，既适用于平面，也适用于空间；差异：研究向量的维度不同，一个在平面上，一个在空间中.我们研究了空间向量的概念及其运算，这里包括空间向量的加法、减法、数乘等线性运算，还有数量积运算。追问1：我们如何引入空间向量的运算法则？类比平面向量，引入空间向量的运算法则.追问2：如何将空间向量的运算转化为数的运算？类比平面向量运算坐标化的过程.追问3：如何理解空间向量可以由三个不共面的向量唯一表示？1.一个非零向量可以唯一表示与其共线的任意一个向量，这由向量的数乘运算给出解释；2.两个不共线向量可以唯一表示其所确定平面上内的任意一个向量，这由向量的线性运算给出解释，也可以由平行四边形法则给出几何解释。3.三个不共面向量可以唯一表示空间中任意一个向量，我们可以通过图示理解，空间中不共面的向量a，b，c，对空间中任意非零向量p，讨论一般情形。若p与a，b，c，均不共线，向量c与p所确定的平面α和a与b所确定的平面β交线唯一确定，记这条直线方向向量上的单位向量为e，则向量p由c和e唯一表示，记为p=mc+ne，而向量ne在平面β上，可由a，b唯一表示，记为ne=xa+yb，所以p=xa+yb+mc，这样我们就得到了向量p由不共线的向量a，b，c的唯一表示。若p与其中两个向量共面，就是平面向量的结论，第三个向量的系数为0.若p与某一个向量共线，则另外两个向量的系数为0.所以对于任意一个向量p，系数x，y，m都是唯一确定的。空间向量就有三个不共面的向量唯一表示了。当换成另一组三个不共面的向量时，系数x，y，m会改变，但表示仍然是唯一的。也就是说，任意一个空间向量对于给定的一组三个不共面向量，都可以找到唯一的一组系数表示。问题2有哪些运用空间向量研究立体几何的方法？一些简单的问题，可以由空间向量的几何意义直接来研究立体几何中的一些问题，相对复杂一些的问题，我们可以将代表空间图形的向量用空间向量基底表示，通过基向量的运算得到空间向量之间的运算结果，这就是我们所说的向量法。由于向量有其坐标表示，我们可也以用向量的坐标运算来得到空间向量的运算结果，这就是我们所说的坐标法。问题3如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面？问题4运用空间向量研究立体几何中的哪些问题？立体几何中，我们研究的对象主要是点、直线、平面之间的关系，其中我们重点研究了点、直线、平面的位置关系和度量问题，位置关系包括平行和垂直，度量问题主要研究了角度和距离。平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行；垂直关系包括直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直；追问1：如何利用直线的方向向量和平面的法向量刻画空间中直线、平面的平行和垂直关系？我们记直线的方向向量为u1，u2，u，平面的法向量为n1，n2，n，直线与直线平行可以表示为直线方向向量平行，也就是数乘运算u1直线与平面平行可以表示为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也就是数量积运算u⋅n=0平面与平面平行可以表示为平面的法向量平行，也就是数乘运算n1直线与直线垂直可以表示为直线的方向向量垂直，也就是数量积运算u1直线与平面垂直可以表示为直线的方向向量与平面的法向量平行，也就是数乘运算u=λ平面与平面垂直可以表示为平面的法向量垂直，也就是数量积运算n1同样，这些直线的方向向量和平面的法向量之间的运算反过来也可以确定直线、平面的平行、垂直关系，这样我们就用空间向量的平行和垂直刻画了立体几何中的直线、平面的垂直、平行等位置关系。追问2：如何用直线的方向向量或平面的法向量求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角？因为空间向量之间的夹角可以用数量积来计算，通过得到的夹角的余弦求得，所以我们尽可能通过求向量夹角的余弦值获得直线、平面的夹角。直线与直线的夹角可以转化为直线的方向向量的夹角，但由于直线与直线所成的角与向量夹角的范围不同，取值在0度到90度，其余弦值不会是负数，所以直线与直线所成角的余弦值就等于其方向向量夹角余弦值的绝对值；直线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角，注意到这两个角相差90度或者互余，而且直线与平面所成角的范围是0度到90度，所以我们用直线的方向向量与平面法向量求出夹角的余弦值的绝对值，正好等于直线与平面所成角的正弦值；平面与平面的夹角可以转化为平面法向量的夹角，二者相等或者互补，所以平面与平面夹角的余弦值等于对应法向量夹角的余弦值的绝对值；这样，我们用空间向量夹角的余弦值，分别给出了直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的求法。追问3：如何用直线的方向向量或平面的法向量求点到直线、点到平面、平行直线、直线到平面、平行平面间的距离？我们先来看看点到直线的距离和平行直线间距离，会发现求平行线间距离本质就是求其中一条直线上的一点到另一条直线的距离，这样就可以把平行直线间距离转化为点到直线的距离来求。而点到直线的距离可以用投影向量的方法构造直角三角形来求解。类似地，与平面平行的直线到平面的距离、平行平面间的距离可以转化为点到平面的距离来求解，而点到平面的距离可以用这点与平面内任一点为起点和终点的向量在平面法向量上的投影向量来计算。这样，我们通过投影向量解决了立体几何中的距离问题。总结一下，我们研究了空间向量的平行、垂直、夹角和投影，对应解决了立体几何的位置关系和度量中的夹角和距离问题。追问4：总结一下，我们如何运用空间向量研究立体几何问题？立体几何的学习中，我们研究了平行，垂直位置关系和角度、距离等度量问题，在空间向量的学习中，我们研究了空间向量的平行、垂直、夹角和投影，我们运用空间向量的垂直和平行刻画了立体几何中的垂直、平行的位置关系。通过计算空间向量的夹角解决立体几何中的角度问题，运用空间向量的投影以及数量积等运算解决立体几何中的距离问题。这样，我们就完成了运用空间向量研究立体几何的问题。最后，我们做一下总结，提炼一下运用空间向量研究立体几何的策略。首先，我们将立体几何问题向量化，用空间向量来表示立体几何中的点、直线、平面。然后选取合适的基底，对空间向量做线性运算和数量积运算，得到关于空间向量的运算结果，最后将空间向量的运算结果几何化，解释立