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文档简介
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第4节随机事件、频率与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.目
录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点:随机试验E的每个可能的__________称为样本点,常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.(2)随机事件①定义:将样本空间Ω的______称为随机事件,简称事件.②表示:大写字母A,B,C,….③随机事件的极端情形:必然事件、不可能事件.基本结果子集2.事件的关系
定义表示法图示包含关系若事件A发生,事件B_________,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)_____(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件B______________,称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B=
,则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中__________________,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为若A∩B=
,且A∪B=Ω,则A与B对立一定发生B⊇A不能同时发生有且仅有一个发生3.事件的运算
定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)________(或A+B)交事件事件A与事件B同时发生,称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)________(或AB)A∪BA∩B4.概率与频率(1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的__________.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A)估计概率P(A).概率P(A)常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(
)(2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.(
)(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.(
)(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(
)×√×√解析随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,故(1)错误.(4)中,甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.2.(必修二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(
) A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶D解析连续射击两次中靶的情况如下:①两次都中靶;②只有一次中靶;③两次都没有中靶,故选D.
3.(必修二P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则(
) A.A∪B表示向上的点数是1或3或5 B.A=B C.A∪B表示向上的点数是1或3 D.A∩B表示向上的点数是1或5A解析设A={1,3},B={1,5},则A∩B={1},A∪B={1,3,5},∴A≠B,A∩B表示向上的点数是1,A∪B表示向上的点数为1或3或5.4.(必修二P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次,其中有496次正面向上,504次反面向上,则掷一次硬币正面向上的概率为________.0.5解析掷一次硬币正面向上的概率为0.5.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一随机事件与样本空间例1(1)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为(
)A.5 B.6 C.7 D.8D解析因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红),(红,黑,黑),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.(2)在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是__________.(填“必然事件”或“不可能事件”)必然事件解析从1,2,3,…,10这十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6,∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生,∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.感悟提升确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.训练1(1)下列说法错误的是(
)A.任一事件的概率总在[0,1]内B.不可能事件的概率一定为0C.必然事件的概率一定为1D.概率是随机的,在试验前不能确定D解析任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,概率是客观存在的,是一个确定值.(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点的个数是(
)A.3 B.4
C.5 D.6D解析事件A包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个样本点.考点二事件的关系与运算例2(1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(
)A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球B解析对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两球还可能都是红球,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},则下列关系正确的是(
)A.A∩D=
B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪DBC解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中,“至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故A∩D≠
,B∩D=
,A∪C=D,A∪B≠B∪D.感悟提升1.准确把握互斥事件与对立事件的概念:(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.训练2(1)(多选)口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A=“取出的两个球同色”,B=“取出的两个球中至少有一个黄球”,C=“取出的两个球至少有一个白球”,D=“取出的两个球不同色”,E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是(
)A.A与D为对立事件 B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件 D.P(C∪E)=1AD解析当取出的两个球为一黄一白时,B与C都发生,B不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,C不正确;显然A与D是对立事件,A正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,D正确.(2)(多选)下列说法正确的是(
)A.对立事件一定是互斥事件B.若A,B为两个互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B互为对立事件AB解析对于C,概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件,但和事件不一定是必然事件,错误;对于D,对立事件和的概率公式逆用不正确,例如两种没有联系的事件,概率和满足P(A)+P(B)=1,但A,B不对立,故D错误.考点三频率与概率例3
如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;解选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.感悟提升1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.训练3
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温低于20℃,则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100;若最高气温位于区间[20,25),则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300;若最高气温不低于25℃,则Y=450×(6-4)=900,所以,利润Y的所有可能值为-100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.下列事件中不可能事件或必然事件的个数是(
)①2025年8月18日,北京市不下雨;②在标准大气压下,水在4℃时结冰;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④x∈R,则|x|的值不小于0.A.1 B.2 C.3 D.4B解析①为随机事件,②为不可能事件,③为随机事件,④为必然事件.2.(2024·三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(
) A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球A解析从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球,不可能发生,故选A.3.(多选)某人打靶时连续射击两次,设事件A=“只有一次中靶”,B=“两次都中靶”,则下列结论正确的是(
) A.A⊆B B.A∩B=∅ C.A∪B=“至少一次中靶” D.A与B互为对立事件BC解析事件A=“只有一次中靶”,B=“两次都中靶”,所以A,B是互斥但不是对立事件,所以A,D错误,B正确;A∪B=“至少一次中靶”,C正确.A解析∵随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,5.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则(
) A.A⊆B B.A=B C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3C解析由题意,可知A={1,2},B={2,3},则AB={2},A+B={1,2,3},∴A+B表示向上的点数是1或2或3.6.(多选)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(
) A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片中恰有一张为红色 C.2张卡片中至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色BD解析C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥;A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B,D正确.7.(多选)(2024·太原段考)下列说法正确的是(
)A.若事件A与B互斥,则A∪B是必然事件B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中,甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读,设事件E=“甲取到《红楼梦》”,事件F=“乙取到《红楼梦》”,则E与F是互斥但不对立事件C.掷一枚骰子,记录其向上的点数,记事件A=“向上的点数不大于5”,事件B=“向上的点数为质数”,则B⊆AD.10个产品中有2个次品,从中抽取一个产品检查其质量,则样本空间含有2个样本点BCD解析对于A,事件A与B互斥时,A∪B不一定是必然事件,故A错误;对于B,事件E与F不会同时发生,所以E与F是互斥事件,但除了事件E与F之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”,所以E与F不是对立事件,故E与F是互斥但不对立事件,故B正确;对于C,事件A={1,2,3,4,5},事件B={2,3,5},所以B包含于A,故C正确;对于D,样本空间Ω={正品,次品},含有2个样本点,故D正确.8.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=_________________.{0,2,4,6,8}解析最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.10.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为________双.60解析∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9,∵第3组的频率为0.25,∴第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2×300=60(双).解事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.故P(A)的估计值为0.55.(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;解事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.12.(2024·荆州调考)在试验E:“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;
解由题意可知试验E的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以A∩B={(1,5)},A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(2)试判断事件A与事件B,事件A与事件C,事件B与事件C是不是互斥事件;解
因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}.因为A∩B={(1,5)}≠
,A∩C={(1,4)}≠
,B∩C=
,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.解
因为事件Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,所以A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)},所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.(3)试用事件Aj表示随机事件A.13.(多选)(2024·昆明诊断)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示:BD则下列说法正确的是(
)A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟
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