2025高考数学一轮复习-第10章-第8节 二项分布、超几何分布与正态分布【课件】

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第8节二项分布、超几何分布与正态分布1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验____________________的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_________________.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作_________________.只包含两个可能结果n重伯努利试验X～B(n，p)2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝

___，D(X)＝________.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝___________.p(1－p)npnp(1－p)p3.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布.正态分布x＝μx＝μ(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝______.μσ2常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.(

)(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(

)(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(

)(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.(

)√√√√A

3.(选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.解析由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，4.(必修三P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________.解析随机变量X服从正态分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一二项分布解由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，感悟提升判断某随机变量服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.解将这组数据从小到大进行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因为75%×10＝7.5，所以第8个数据为所求，所以这组数据的第75百分位数为9.1.(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差.解样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的概率(频率)为0.3，依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.3)，考点二超几何分布(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.解X的可能取值为0，1，2，3.感悟提升1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.训练2(2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；解令A表示事件“三种粽子各取到1个”，(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X).解X的所有可能值为0，1，2，且考点三正态分布ACA.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误.BD解析对于A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误；对于B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少，所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确；对于C，当σ＝15时，感悟提升解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.训练3(1)(2024·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为(

)参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A.455 B.2718 C.6346 D.9545B则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.1359×20000＝2718.(2)(多选)(2024·常州调研)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)(

)A.该校学生成绩的期望为110B.该校学生成绩的标准差为9C.该校学生成绩的标准差为81D.该校学生成绩及格率超过95%ABD解析因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差σ2＝81，标准差σ＝9，因为μ－2σ＝110－2×9＝92，所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.所以A，B，D正确，C错误.微点突破

二项分布与超几何分布的区别与联系1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.例1

写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.解X1的分布列为(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X2.解X2的分布列为(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X3(N－M＞n＞0，且M≥n).解X3的分布列为(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.解X的可能取值为1，2，3，因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定.所以选择学生A.训练

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；解质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；解质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANB2.(2024·湖州质检)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，则P(X≤2a－b)＝(

) A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75A解析由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25，故由正态曲线的对称性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25.CACDD阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正确.BD解析对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；7.(多选)(2024·厦门模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36，骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(

)A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车BCD解析对于A，由条件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根据正态曲线的对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A错误；对于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正确；对于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正确；对于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)，P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)，所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正确.8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________.27解析由题意得μ