2021年八省联考数学试卷

普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知均为R的子集，且々MqN,则MD(\N)=()

A.0B.MC.ND.R

2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，

则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()

,1clr2

A.-B.—C.—D.一

6323

3.关于x的方程/+⑪+匕=0,有下列四个命题：甲：x=l是该方程的根；乙:x=3是

该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号..如只有一个假命题，则该命

题是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

22

IT

4椭图'=1的隹占为ER上顶点为A，若鸟=Q，则机=

m-+lm

()

A.1B.y/2C.73D.2

5.已知单位向量满足7B=o,若向量3=夜则sin〈〃,c〉=()

AYYc.旦

D.—

99

6.(l+x)2+(l+x)3+…+(l+x)9的展开式中/的系数是()

A.60B.80C.84D.120

7.已知抛物线y=2px上三点A(2,2),8,C,直线AB,AC是圆(x—2月+：/=1的两条

切线，则直线的方程为()

A.%+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

8.已知。<5且ae5=5e",b<4且。《4=4/，c<3且c、5=3e'，则()

A.c<h<aB,b<c<aC.a<c<bD.

a<b<c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知函数/0)=xln(l+x),贝!!()

A.f(x)(0,+8)单调递增

B.7(x)有两个零点

C.曲线y=/(x)在点卜一处切线斜率为一1—M2

D./(x)是偶函数

10.设4,z2,Z3为复数，AHO.下列命题中正确是()

A.若冈=闾，则Z2=±?3B.若平2=平3,则Z2=?3

C.若马=23,则上囚二以国D.若Z]Z2=|zj2,则4=Z2

11.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()

A.AE//CDB.CH//BEC.DGLBHD.

BG工DE

cos2x

12.设函数f(x)=---——,则()

2+sinxcosx

B.f(x)的最大值为g

A./(幻=/(%+万)

C./(X)在(一?,o)单调递增D.f(x)在(0,()单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5,

则该圆台的体积为.

14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率

分别为一，______.

15.写出一个最小正周期为2的奇函数/（x）=

16.对一个物理量做〃次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后

结果的误差~为使误差£“在（一0.5,0.5）的概率不小于0.9545,至少要测量

—次（若X~N3b2）,则P（|X-川＜2cr）=（）.9545））.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知各项都为正数的数列｛4｝满足a,.=2。,用+3%.

（1）证明：数列｛4+&+1｝为等比数列；

（2）若q=耳，4=；，求通项公式.

18.在四边形ABC。中，AB//CD,AD=CD=BD=L

3

（1）若AB=—,求BC；

2

（2）若钻=2BC,求cos/BDC.

19.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为

0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.

（1）求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；

（2）记设备在一天运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.

20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研

究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2万与多面体在该点

的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶

点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.如：正四面体在每个顶

717C

点有3个面角，每个面角是彳，所以正四面体在各顶点的曲率为2万-3x—=乃，故其总

33

曲率为4乃.

(1)求四棱锥的总曲率；

(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2,证明：这类多面体的总曲率是常数.

22

21.双曲线C:=-2=l(a>0/>0)的左顶点为A，右焦点为尸，动点5在。上.当

arh~

BbLAF时，

(1)求C的离心率；

(2)若8在第一象限，证明：ZBFA=2ZBAF.

22.己知函数/(x)=e'-sinx-cosx,g(x)=e*+sinx+cosx.

5%

(1)证明：当----时，f(x)..0；

4

(2)若g(x)..2+ox,求a.

参考答案

一二、选择题

题号123456789101112

选项BCACBDBDACBCBCDAD

三、填空题

1

13.61乃.14.(1).-(2).-315./(x)=sin7ix.16.

32.

17、(1)由“〃+2-+可得：4+2+4+1=3a“+]+3a“=3(izn+l+a”)

因为各项都为正数，所以卬+外＞。，

所以｛%+。,田｝是公比为3的等比数列.

(2)构造a,.-3a/I=k(an+l-3an),整理得：an_2=(k+3)an+i-3kan

所以k=T，即an+2-3a„+I=-(«„+I-3%)

所以a,m一3a“=0na,m=3a“，所以｛a“｝是以4=g为首项，3为公比的等比数列.

所以4==-(HGN+)

18、(1)在△ABD中，由余弦定理可得cosN48O=+BD二AD=》

2ABBD4

-,-CD//AB,.\ZBDC=ZABD,

在△BCD中，由余弦定理可得SC?=B£)2+CO2—28£rCDcosNBOC=L,BC=也;

22

(2)设BC=x,则A3=2x,

…cAB2+BD2-AD24X2

在△"£)中，cos/ABD=---------------=----=x，

2ABBD4x

BD-+CD2-BC22-x2

在△BCD中，cosZ.BDC=---------------=-----，

2BDCD2

2-x2

由Q)可知，/BDC=ZABD,所以，cosZBDC=cosZABD,即^-=x,

2

整理可得％2+2x—2=0,因为％>0,解得x=6-l，

因此,cosZ.BDC=cosZ.ABD=x=>/3—1.

19、（1）设部件1需要调整为事件A,部件2需要调整为事件B,部件3需要调整为事件C,

由题意可知：P（A）=0.1,P（B）=0.2,P（C）=0.3.

部件1,2中至少有1个需要调整的概率为：

1-［1-P（A）］［1-P（B）］=l-0.9x0.8=1-0.72=0.28.

（2）由题意可知X的取值为0,1,2,3.

且:P（X=0）=［1-P（A）］［1--P（C）］

=（l-0.1）x（l-0.2）x（l-0.3）=0.5（）4,

P（X=1）=P（A）口一P（8）］［1—P（C）［+［1—P（A）［P（3）［1—P（C）］

+［1-P（A）］［1-P（B）］P（C）

=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x03

=0.398,

p（X=2）=P（A）P（B）［l-P（C）］+P（A）［1-P（B）］P（C）+［1-尸（A）］P（C）P（8）

=0.1x0.2x0.740.1x0.8x0.340.9x0.2x0.3

=0.092.

"（X=3）=尸（A）尸（B）尸（C）=O.lxO.2xO.3=O.OO6,

故X的分布列为：

X0123

尸（X）0.5040.3980.0920.006

其数学期望：E(X)=0.504x0+0.398x1+0.092x2+0.006x3=0.6.

20、(1)由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱键各顶点的曲率之和.

p

可从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集

合.由图示可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.

所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，

则其总曲率为：2IX5-(4»+2;T)=4；T.

(2)设顶点数、棱数、面数分别为〃、I、m,所以有〃一/+机=2

设第i个面的棱数为毛，所以尤|+马+…+%”,=2/

所以总曲率为：

-乃[(X1-2)+(W-2)+…+(七“-2)]

=24〃-〃(2/-2”2)

=2"(〃一/+m)=4万

所以这类多面体的总曲率是常数.

(加

21、(1)设双曲线的半焦距为C,则尸(c,0),Bc,±—,

Ia)

因为IAS|=|B/71,故2=a+c,故c?—ac—2a2=0，即/—e—2=0,

a

故e=2.

(2)设8(%,%),其中%>a%>0.

因为e=2,故c=2a,b-垂>a>

故渐近线方程为：y=±J3x,所以NBA/7e,Z.BFAef0,

又tanNBFA=--=——,tanNBAF=

九°一cx0-2a/+。

2%

所以tan2NBAF=i，=义式山2%(%+。)

所以J工］(%+4-尤

227

(x0+a)-/?1一4

\a7

2%(%+。)_2%(%+a)_2%

(.q+4)2_3。2鼻_](/+4)--3(片-叫(/+。)-3(/-。)

\a

=——=^=tanZBFA,

九0-2。

因为故2NB”e(0,多，

故々£4=244尸.

22、(1)分类讨论：

①.当xe(一弓,一？，/(x)=e'-行sin[x+?J>0；

②.当时，f(-^)=ex-cosx+sinx,f(0)=0,

/"(x)=ex+sinx+cosx=ex+0sin(x+?)>0,

则函数/'(x)在卜0)上单调增，则/'(x)</'⑼=0，

则函数〃x)在(一7,0)上单调减，则〃力>/(0)=0；

I4J

③.当x=0时，由函数的解析式可知/(0)=1-0—1=0,

当xe[0,+w)时，令"(x)