2025高考数学一轮复习-第8章-第6节 双曲线【课件】

第八章平面解析几何第6节双曲线1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若____，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为__________；③若_____，则集合P为空集.定点a<c两条射线a>c2.双曲线的标准方程和几何性质x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)a2＋b2常用结论与微点提醒×××√解析(1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.2.(选修一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________.17

3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，(3，0)解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(

) A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线

D.圆B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.C由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a，所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，因为a＝2，|AB|的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.感悟提升1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.C解析设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.解析不妨设点P在双曲线的右支上，考点二双曲线的标准方程解析设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).4x2－y2＝1解析法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，感悟提升D考点三双曲线的几何性质C角度1渐近线整理得a＝b.即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.解析如图所示，∵OQ∥PF，∴∠AOQ＝∠OFP.又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，∴△OPF为等腰三角形，作PM⊥OF，垂足为M，角度2离心率BCA－3拓展视野椭圆、双曲线中的二级结论D解析[通法]由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，解析如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t.(－∞，－2]则(*)中Δ≥0，即36t2－4×4(3t2－3)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.又x＋y＋m≤0恒成立，则m≤[－(x＋y)]min，即m≤－2.解析设点P的横坐标为x0，由双曲线焦半径公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，结合条件|PF1|＝3|PF2|，则ex0＋a＝3(ex0－a)，解析由题意知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANC解析若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，CDA解析由题知F(c，0).BBCD所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；BCD解析由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，8.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为______________.由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.因此b2＝c2－a2＝16，4设该双曲线的左焦点为F1，连接PF1，QF1，因为PF⊥QF，P，Q关于原点对称，所以不妨设点P在第一象限，则由双曲线的对称性可得四边形PF1QF为矩形，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF|＝2，所以|QF|－|PF|＝2.①又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20，②10设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.解不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①