2025年沪科版七年级数学寒假预习 第07讲 整式乘法

第07讲整式乘法模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)；知识点1单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.注意：(1)积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值.(2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算.(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里.(4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式.(5)对于三个以上的单项式相乘法则同样适用.知识点2单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即。注意：(1)单项式与多项式相乘，结采是一个多项式其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项.(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.(3)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果.知识点3多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即注意：(1)运用多项式乘法法则时，要按一定的顺序进行，防止“漏项”。(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。(3)多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号。知识点4单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：(1)运算中单项式的系数包括它前面的符号。(2)不要遗漏只在被除式里含有的字母。(3)单项式除以单项式的站果仍是单项式。知识点5多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注意：(1)多项式除以单项式可以简化为单项式除以单项式、在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号。(2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项、不要漏项。(3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用共进行检验。考点01：计算单项式乘以单项式例题1．（24-25七年级上·上海·期中）计算：．【变式1-1】计算：．【变式1-2】计算：【变式1-3】计算：．考点02：利用单项式乘法求字母或代数式的值例题2．若，则的值为．【变式2-1】已知单项式与的积为，那么（）A．11 B．5 C．1 D．【变式2-2】已知，则代数式的值为（

）A．0 B．2 C．1 D．3【变式2-3】先化简，后求值：，其中，．考点03：单项式乘以多项式例题3.（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值：，其中【变式3-1】把代数式变形为所运用的根据是（

）A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律【变式3-2】化简：【变式3-3】计算：考点04：单项式乘多项式的应用例题4.小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含，的整式表示盒子的外表面积；(2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【变式4-1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（

）A． B． C． D．【变式4-2】如图，已知正方形的边长为a，长方形的边长为，边长为b．则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是．（用含有a、b和的代数式表示）【变式4-3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．(1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；(2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；(3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）．考点05：多项式乘以多项式例题5.已知，则；．【变式5-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）若和是的因式，则p为（

）A． B． C．8 D．2【变式5-2】已知，则的值是（

）A． B． C． D．【变式5-3】计算：．考点06：已知多项式乘积不含某项求字母的值例题6.一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值．【变式6-1】已知的计算结果中不含项，则的值为．【变式6-2】（24-25七年级上·重庆·期中）要使多项式中不含项和项，则．【变式6-3】（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）若代数式不含x的一次项，求的值．考点07：多项式乘多项式的化简求值例题7．（23-24七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中．【变式7-1】已知，，那么的值为．【变式7-2】．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为．【变式7-3】．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为．考点08：多项式乘法中的规律问题例题8.观察下列式子：(1)根据以上式子，请直接写出；(2)根据以上式子，请直接写出的结果为正整数）；(3)计算：．【变式8-1】通过计算寻找规律：(1)计算：___________．___________．___________．(2)猜想：___________．(3)根据猜想结论，写出下列结果：___________．___________．【变式8-2】观察以下等式：(1)按以上等式的规律，填空：①______．②______．(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简；【变式8-3】（23-24七年级下·广东清远·期中）观察以下等式：……(1)按以上等式的规律，填空：①________．②________．(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简：．一、单选题1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）设，，则A与B的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（

）A．4 B． C．2 D．二、填空题5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则．6．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为．三、解答题7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：(1)；(2)．8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：(1)；(2)．9．（22-23七年级下·安徽六安·期末）观察下列各式：；；；；(1)根据上面各式的规律可得：________．(2)根据上面各式的规律可得：________．(3)若，求的值．10．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算．①；②；③；④．(1)计算：_______，________．(2)若，求的值．

第07讲整式乘法模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)；知识点1单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.注意：(1)积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值.(2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算.(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里.(4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式.(5)对于三个以上的单项式相乘法则同样适用.知识点2单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即。注意：(1)单项式与多项式相乘，结采是一个多项式其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项.(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.(3)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果.知识点3多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即注意：(1)运用多项式乘法法则时，要按一定的顺序进行，防止“漏项”。(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。(3)多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号。知识点4单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：(1)运算中单项式的系数包括它前面的符号。(2)不要遗漏只在被除式里含有的字母。(3)单项式除以单项式的站果仍是单项式。知识点5多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注意：(1)多项式除以单项式可以简化为单项式除以单项式、在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号。(2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项、不要漏项。(3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用共进行检验。考点01：计算单项式乘以单项式例题1．（24-25七年级上·上海·期中）计算：．【答案】【解析】解：．【变式1-1】计算：．【答案】【解析】解：，故答案为：．【变式1-2】计算：【答案】【解析】解：原式．【变式1-3】计算：．【答案】【解析】解：原式．考点02：利用单项式乘法求字母或代数式的值例题2．若，则的值为．【答案】【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【变式2-1】已知单项式与的积为，那么（）A．11 B．5 C．1 D．【答案】C【解析】，，，，．故选：C．【变式2-2】已知，则代数式的值为（

）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】B【解析】解：∵，∴，∴，故选：B．【变式2-3】先化简，后求值：，其中，．【答案】，【解析】解：当，时，原式．考点03：单项式乘以多项式例题3.（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】解：，当时，原式．【变式3-1】把代数式变形为所运用的根据是（

）A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律【答案】C【解析】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律，故选：C．【变式3-2】化简：【答案】【解析】解：．【变式3-3】计算：【答案】【解析】解：考点04：单项式乘多项式的应用例题4.小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含，的整式表示盒子的外表面积；(2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【答案】(1)（平方分米）(2)360元【解析】（1）解：根据题意得：（平方分米）∴盒子的外表面积为平方分米；（2）解：当，时，（平方分米）则喷漆的费用为（元）．答：喷漆共需要360元．【变式4-1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，即图2中零件的面积为．故选：A【变式4-2】如图，已知正方形的边长为a，长方形的边长为，边长为b．则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是．（用含有a、b和的代数式表示）【答案】【解析】解：由题意得，，故答案为：．【变式4-3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．(1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；(2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；(3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）．【答案】(1)，；(2)420平方米，930平方米；(3)88500元【解析】（1）解：（平方米）（平方米）（2）当米，米时（平方米）（平方米）（3）（元）考点05：多项式乘以多项式例题5.已知，则；．【答案】【解析】解：，，，故答案为：，【变式5-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）若和是的因式，则p为（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【解析】解：即故选：D【变式5-2】已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．【变式5-3】计算：．【答案】【解析】解：，故答案为：．考点06：已知多项式乘积不含某项求字母的值例题6.一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值．【答案】【解析】解：∵不出现一次项，且三次项系数为1，∴，解得：【变式6-1】已知的计算结果中不含项，则的值为．【答案】【解析】解：∵已知的计算结果中不含的项，∴∴故答案为：．【变式6-2】（24-25七年级上·重庆·期中）要使多项式中不含项和项，则．【答案】1【解析】解：，∵不含项和项，∴，解得，，∴，故答案为：1．【变式6-3】（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）若代数式不含x的一次项，求的值．【答案】9【解析】解：因为代数式不含x的一次项，所以，解得：，∴．考点07：多项式乘多项式的化简求值例题7．（23-24七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，1【解析】解：原式．当时，原式．【变式7-1】已知，，那么的值为．【答案】9【解析】解：，，，原式，故答案为：9．【变式7-2】．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为．【答案】2025【解析】解：，，，故答案为：2025．【变式7-3】．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为．【答案】【解析】解：∵，，∴，故答案为：．考点08：多项式乘法中的规律问题例题8.观察下列式子：(1)根据以上式子，请直接写出；(2)根据以上式子，请直接写出的结果为正整数）；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：由题意得，．故答案为：．（2）解：观察题干中各等式，得到如下规律：被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按x进行降幂排列，各项系数为1，．故答案为：．（3）解：由题意得，．【变式8-1】通过计算寻找规律：(1)计算：___________．___________．___________．(2)猜想：___________．(3)根据猜想结论，写出下列结果：___________．___________．【答案】(1)，，(2)(3)，【解析】（1）解：；；；（2）解：由；；；……；（3）解：；．【变式8-2】观察以下等式：(1)按以上等式的规律，填空：①______．②______．(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简；【答案】(1)；(2)(3)【解析】（1）解：根据材料提示，①．②．故答案为：；；（2）解：；（3）解：．【变式8-3】（23-24七年级下·广东清远·期中）观察以下等式：……(1)按以上等式的规律，填空：①________．②________．(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简：．【答案】(1)；(2)见解析(3)【解析】（1）解：①②，故答案为：；；（2）解：；（3）解：．一、单选题1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、，故本选项不符合题意；B