2024-2025学年天津市高三上学期第二次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年天津市高三上学期第二次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共9小题）1．已知全集，集合，，则为A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}2．设，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知函数，则函数的大致图象为（

）A． B．C． D．4．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是（

）A．20 B．30 C．40 D．505．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（

）A．2 B．3 C．2 D．7．关于函数有如下四个命题：甲：该函数图象的一个对称中心为；乙：该函数在上单调递增；丙：该函数图象的一条对称轴方程为；丁：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数.如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲. B．乙 C．丙 D．丁8．如图，正三棱锥，其体积为分别是棱的中点，设三棱锥的体积为，则（

）A． B． C． D．9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）10．已知，其中i是虚数单位，则．11．的展开式中，常数项为.12．已知圆与直线x+y=0相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为.13．袋中有个红球，个白球，个黑球共个球，现有一个游戏：从袋中任取个球，恰好三种颜色各取到个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是，有个人参与这个游戏，则恰好有人获奖的概率是.14．已知，，且，则的最小值为.15．若函数有四个不同的零点，则的取值范围是三、解答题（本大题共5小题）16．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．17．如图，是边长为4的正方形，平面，，且.

(1)求证:平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点D到平面的距离.18．已知椭圆的离心率，椭圆上的点到其左焦点的最大距离为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆相交于点，则轴上是否存在点，使得线段，且？若存在，求出点坐标；否则请说明理由．19．已知是公比大于0的等比数列，且，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和；(3)若，在与之间插入个，得到一个新数列.是否存在正整数，使得数列的前项之和?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.20．设函数，其中.(1)若a=−1，求曲线在点处的切线方程;(2)若，（i）证明:函数恰有两个零点;（ii）设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明:.

答案1．【正确答案】C【详解】由题得，故选C.2．【正确答案】B【详解】因为为R上的减函数，是(0,+∞)上的增函数，所以由可得（），由可得（），故是成立的必要不充分条件，故选：B3．【正确答案】B【详解】由题可知：函数定义域为,所以，故该函数为奇函数，排除A,C又，所以排除D故选：B4．【正确答案】C【详解】．故选：C5．【正确答案】C【详解】由题意得：，，，且，故，故选：C6．【正确答案】B【详解】依题意，由双曲线的对称性，不妨让在轴的上方，如图，把代入中，利用，解得：，故，所以直线的方程为，整理得，所以，由得，整理得，所以，两边同除以，得，解得（负根舍去），故.故选：B7．【正确答案】A【详解】若甲为假命题，则乙丙丁正确，即函数图象的一条对称轴方程为，可得，则，因为，可得，即，当时，，即函数在上单调递增；将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数为奇函数，且，此时，甲为假命题，乙丙丁均为真命题，合乎题意；若乙为假命题，则丙为真命题，可得函数，由上可知，丁为真命题，甲为假命题，不合乎题意；若丙为假命题，则甲为真命题，即该函数图象的一个对称中心为，可得，则，因为，可得，则函数解析式为，将该函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数，该函数不是奇函数，即丁为假命题，不合乎题意；若丁为假命题，由丙为真命题可知，函数解析式为，则，即甲为假命题，不合乎题意.故选：A.8．【正确答案】B【详解】如图，设到平面的距离为，到平面的距离为，因为，，所以.又，且到的距离为，所以，由为的中点，得到平面的距离为，所以，即，所以.故选：B9．【正确答案】A【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故选：10．【正确答案】3【详解】由，可得：，由复数相等可知：所以故311．【正确答案】【详解】根据题意，的通项为，则展开式中的项为或，令或，得或，从而展开式常数项为．故12．【正确答案】【详解】由，得，则圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，因为圆与直线相交所得圆的弦长是，所以，解得或（舍去），所以圆心为，半径为，所以与间的距离为，所以所求的切线长为，故答案为.13．【正确答案】【详解】设中奖为事件A,则事件A包含的基本事件个数为，所有的基本事件共有个，所以中奖概率为；有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X,则，；故答案为.14．【正确答案】【详解】由换底公式和对数运算的性质，原式，∵，∴，∴原式，∵，，∴，，∴，，∴由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立，∴原式.∴当且仅当时，的最小值为.故答案为.15．【正确答案】【详解】由题意，当时四个不同的零点，即与的交点有四个，而恒过点，若，则，显然直线与不可能有4个交点，不符合题意；若，作出的函数图象，则直线与的图象不可能有4个交点，不符合题意；若，作出的函数图象，如图所示：当时，，若直线与在上的函数图象相切，切点为，则，解得，即或（舍），∴当时有三个零点，当时有四个零点．综上有.故答案为.16．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由余弦定理知，，所以，即，

解得或（舍负），所以．（2）由正弦定理知，，所以，所以．（3）由余弦定理知，，

所以，，

所以.17．【正确答案】(1)证明见详解；(2)；(3).【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可.【详解】（1）

根据题意以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，易知平面的一个法向量为，显然，又平面，所以平面；（2）由（1）的坐标系可知，则，设平面与平面的法向量分别为，则有取，则，即，设平面与平面的夹角为，则；（3）由（2）得平面的一个法向量为，又，所以点D到平面的距离.18．【正确答案】（1）；（2）或．(1)由条件可得，解出的值，可得答案.，（2）由条件可知点在线段的中垂线上，当时可求出，当时，【详解】（1）由题可知又∵椭圆上的点到其左焦点的最大值为，即解得，，则∴椭圆的方程为（2）由条件可得由，可知点在线段的中垂线上，由题意知直线的斜率显然存在设为．当直线的斜率时，则．设．设为直线的方程为：，求出线段的中垂线，进一步求出点坐标，由可得答案.由，解得，又．当直线的斜率不为0时，设为直线的方程为：．联立得：．有：，解得，即．的中点为，线段的中垂线为：，令，得．即．．解得，此时．综上可得或．19．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，，整理可得，因为，解得，故.（2）因为，所以，.（3）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，，所以当时，，设，解得，当时，，，因为且，所以当时，.20．【正确答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1）由题设，且，则，所以，又，所以切线方程为，即.（2）（i）由，令，