湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考试题 数学 含解析

2024年邵阳市高三第三次联考数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（）A． B．1 C．2 D．42．已知全集，集合，，如图（一）所示，则图中阴影部分表示的集合是（）图（一）A． B． C． D．或3．“”是“函数（且）在上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数对于任意，都有成立的是（）A． B． C． D．5．已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（）A．0 B． C．1 D．0或16．甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（）A． B． C． D．7．已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（）A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称C． D．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．若角的终边过点，则角的集合是B．若，则C．若，则D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是10．如图（二）所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（）图（二）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使平面C．不存在点，使平面D．经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心11．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（）A． B．（精确到小数点后两位）C． D．当时，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中常数项是______．（用数字作答）13．宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似地用函数的图象来描述，如图（三）所示，则______．图（三）14．已知分别为三个内角的对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．16．（15分）如图（四）所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点．图（四）（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．17．（15分）如图（五）所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为．图（五）（1）求的方程；（2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围．18．（17分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．5.58.71.930138579.75表中，．（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程．（3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：性别佩戴头盔合计不佩戴佩戴女性81220男性14620合计221840依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？参考公式：，，，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）已知数列，，函数，其中，均为实数．（1）若，，，，，（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设数列的前项和为，求证：．（2）若为奇函数，，，且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，）

2024年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BDCACDBC1．B【解析】，，．选B．2．D【解析】，或．选D．3．C【解析】若，则的图象为：若，则的图象为：选C．4．A【解析】（教材必修一）满足，则函数为上凸函数，由函数的图象可得选A．5．C【解析】，，所以曲线在点处的切线为：，即．联立与，得，依题意可知，所以或1．当时，不是抛物线，舍去．选C．6．D【解析】（教材选择性必修三例5）设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，由题意得，，，．因为，所以．选D．7．B【解析】由题可得：，，点到直线的距离，所以，，则，离心率．选B．8．C【解析】因为函数的图象关于点对称，所以，即，则的图象关于点对称，B选项错误．由，得．令，则，由，得的图象关于直线对称．又的图象关于点对称，则，所以，即，则可得的图象关于点对称，故为周期函数，且周期为8，，所以，，D选项错误．又，则，所以，即，故为周期函数，A选项错误．由，得，，则，C选项正确．选C．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABCADBD9．ABC【解析】由三角函数的定义知A选项正确；因为，所以B选项正确；因为，所以C选项正确；设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．10．AD【解析】（教材必修二）三棱锥中，底面的面积为定值，由平面平面可知，平面上任意一点到平面的距离都相等，则可得三棱锥的体积为定值．故A选项正确；若存在点使得平面，因为在正方体中，平面，所以与重合或平行，显然这样的点不存在，故B选项错误；因为在正方体中，平面，当点与重合时，为，则存在点使得平面，故C选项错误；因为正方体中，平面，由题可得平面，所以，又因为，易得平面，则．当与重合时，．在正方形中，则可得为与的交点即为上底面的中心，故D选项正确．11．BD【解析】（教材必修一）由，，则有，故A选项错误．由，则，又（精确到小数点后两位），故B选项正确．，，则有，故C选项错误．当时，令，则，，所以在上为增函数，则，所以在上为增函数，则，故当时，恒成立，即．故D选项正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13． 14．（或），12．【解析】的展开式的通项为：，令，得，故．13．【解析】由题知：，，，，时，，故，．14．（或），【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，又，．，，由余弦定理得，，与的夹角的余弦值为．又，，且，，，，四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）由，得，令，得，解得．所以的单调递增区间为（注：单调递增区间是否带端点均给分）（2）令，解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示：0200单调递减1单调递增单调递减由函数有且仅有三个零点，得方程有且仅有三个不等的实数根，所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．显然，当时，；当时，．所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，故．16．（15分）证明：（1）连接，取的中点，连接，则．又，．四边形为平行四边形，．，则．又平面，平面，．又，平面，平面，平面．又平面，．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设．则，依题意得，，，．则，，，．设平面的法向量为，则取，得，．．设直线与平面所成角为，则有．直线与平面所成角的正弦值为．17．（15分）解：（教材必修一例6）（1）设，则．直线的方程为，，．，．，，化简得，其中．即的方程为：．（注：的范围没写或写错扣1分）（2）抛物线的图象关于轴对称，点在上，点关于轴对称的点也在抛物线的图象上．设直线的方程为，，，则．联立方程得：整理得．，，．设，则，．三点共线，，．即，又，．．点关于轴对称，，为等边三角形，，直线的斜率，．由，得．，，又，，则点到直线的距离．设，则，且，故．在上单调递减，．即点到直线的距离的取值范围是18．（17分）解：（1）更适合．（2）由，得．依题意得，，所以，即．（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到：，根据小概